XXXI - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

III

Obliczyć pole ośmiokąta wpisanego w okrąg wiedząc, że każdy z czterech kolejnych boków tego ośmiokąta ma długość 1, a każdy z czterech pozostałych ma długość 2.

Rozwiązanie

Pole ośmiokąta danego jest sumą pól ośmiu trójkątów, których wspólnym wierzchołkiem jest środek danego okręgu, podstawami zaś cięciwy, z których cztery mają długość $1$ , cztery pozostałe - długość $2$ . Takie samo pole ma ośmiokąt wpisany w okrąg, w którym kolejne boki mają na przemian długości $1$ oraz $2$ .

Zauważmy, że symetralna każdego boku tego ośmiokąta jest osią symetrii ośmiokąta, skąd wynika, że każde dwa kolejne kąty wewnętrzne tego wielokąta są równe. Suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta wynosi $(8-2) \cdot 180^\circ =<br /> = 1080^\circ$ , zatem każdy z kątów ma miarę $\frac{1}{8} \cdot 1080^\circ = 135^\circ$ .

Przedłużając dłuższe boki ośmiokąta otrzymamy czworokąt $KLMN$ , którego pole jest sumą pola ośmiokąta $ABCDEFGH$ oraz czterech trójkątów, których podstawami są krótsze boki ośmiokąta. Rozważmy którykolwiek z tych trójkątów, np. $\triangle ABK$ . Kąt $ABK$ jest kątem przyległym do kąta $ABC$ mającego miarę $135^\circ$ , wobec tego $\measuredangle ABK$ ma miarę $45^\circ$ , analogicznie $\measuredangle KAB$ ma miarę $45^\circ$ i w konsekwencji $\measuredangle AKB$ jest prosty. Wynika stąd, że $AB = KB \sqrt{2}$ , więc $KB = KA = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla trójkątów $CDL$ , $EFM$ , $HGN$ stwierdzamy, że wszystkie kąty czworokąta $KLMN$ są proste, a wszystkie boki mają długość $2 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Jest to więc kwadrat o boku długości $2 + \sqrt{2}$ , jego pole wynosi $(2 + \sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$ . Pole rozważanego ośmiokąta jest mniejsze
od pola tego kwadratu o sumę pól czterech trójkątów prostokątnych równoramiennych o ramieniu długości $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Pole takiego trójkąta wynosi $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$ . Szukane pole ośmiokąta wynosi więc

$<br /> 6 + 4\sqrt{2}-4 \cdot \frac{1}{4} = 5 + 4 \sqrt{2}.<br />$