XXXI - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

III

Dowieść, że dla dowolnej liczby $n$ istnieje rozwiązanie równania

$ a^2 + b^2 + c^2 = 3abc $

w liczbach naturalnych $a, b, c$ większych od $n$ .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że istnieją rozwiązania danego równania w liczbach naturalnych, np. $(1, 1, 1)$ , $(2, 1, 1)$ , $(5, 2, 1)$ , itd.

Pokażemy, że jeśli trójka liczb naturalnych $(a, b, c)$ spełniających warunek $a > b > c$ stanowi rozwiązanie danego równania, to istnieje taka liczba naturalna $d$ , że $c + d > a$ oraz $(c + d, a, b)$ też jest rozwiązaniem danego równania. Szukana liczba $d$ musi spełniać równanie

$ (c + d)^2 + a^2 + b^2 = 3(c + d)ab, $

$ c^2 + 2cd + d^2 + a^2 + b^2 = 3abc + 3abd. $

Ponieważ $a^2 + b^2 + c^2 = 3abc$ , więc

$ 2cd + d^2 = 3abd, \ \textrm{to jest} $

$ 2c + d = 3ab, $

$ d = 3ab - 2c . $

Przeprowadzając powyższe rachunki w odwrotnej kolejności stwierdzamy, że istotnie trójka liczb $(3ab - c, a, b)$ stanowi rozwiązanie danego równania,, przy czym $3ab - c > 3a - c > a$ .

Wynika stąd, że dowolne rozwiązanie $(a, b, c)$ spełniające warunek $a> b > c$ (rozwiązaniem takim jest np. $(5, 2, 1)$ ) możemy zastąpić, przez rozwiązanie w liczbach naturalnych większych od $c$ . Iterując to postępowanie dostateczną ilość razy otrzymamy rozwiązanie w liczbach naturalnych większych od dowolnej liczby $n$ .

Uwaga. Korzystając z powyższego rozwiązania można nawet podać wzór na trójkę liczb spełniających dane równanie i większych od ustalonej liczby $n$ . Rozpatrzmy ciągi $\{ b_n \}$ i $\{ c_n \}$ określone w następujący sposób

$ b_1 = c_1 = 1, \ b_{k+1} = 3b_k - c_k,\ c_{k+1} = b_k. $

Modyfikując nieznacznie rozumowanie przeprowadzone w rozwiązaniu zadania stwierdzimy, że każda z trójek liczb $t_k= (1, b_k, c_k)$ spełnia dane równanie:

$ t_1 = (1, 2, 1) \ \textrm{jest rozwiązaniem}, $

Jeśli $t_k = (1, b_k, c_k)$ jest rozwiązaniem, to $t_{k+1} =(1, 3b_k - c_k, b_k)$ też jest rozwiązaniem.

Wynika stąd, że $b_1 = 1$ , $b_2 = 2$ , $b_{k+2} = 3b_{k+1} - b_k$ i trójki liczb $(1, b_{k+1}, b_k)$ spełniają równanie. Stosując jeszcze raz rozumowanie przeprowadzone w rozwiązaniu zadania stwierdzimy, że z faktu, że $(1, b_{k+1}, b_k)$ jest rozwiązaniem wynika, że $(b_{k+1}, b_k, 3b_k \cdot b_{k+1} - 1)$ też jest rozwiązaniem.