XXXI - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

III

Obieramy liczbę całkowitą $k$ z przedziału $[1, 99]$ . Następnie rzucamy 100 razy monetą (wyniki rzutów są niezależne). Niech

$ \varepsilon_j = \begin{cases} 1, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie orzeł,} \\ 2, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie reszka.} \end{cases} $

Oznaczmy przez $M_k$ zdarzenie polegające na tym, że istnieje taka liczba $i$ , że $k + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_i = 100$ . Jakie powinno być $k$ , aby prawdopodobieństwo zdarzenia $M_k$ było największe?

Rozwiązanie

Niech $P(M_k)$ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia $M_k$ . Oczywiście $P(M_{99})=\frac{1}{2}$ , $p(M_{98})=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ . Pokażemy, że dla $k < 98$ jest $P(M_k) < \frac{3}{4}$ . Zauważmy najpierw, że

$ (1) \qquad P(M_{k-2}) = \frac{1}{2} P(M_{k-1}) + \frac{1}{2} P(M_k)\ \textrm{dla}\ 2 < k < 100. $

Istotnie, jeśli w pierwszym rzucie wypadnie orzeł (prawdopodobieństwo tego wynosi $\frac{1}{2}$ , to zdarzenie sprzyjające zdarzeniu $M_{k-2}$ polega na tym, że $(k - 2) + 1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_i = 100$ , więc $k - 1 + \varepsilon_2 +\ldots + \varepsilon_i = 100$ .

Jeśli zaś w pierwszym rzucie wypadnie reszka, to zdarzenie sprzyjające polega na tym, że $k + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_i = 100$ .

Stosując (1) możemy udowodnić przez indukcję, że

$ P(M_{98-n}) < \frac{3}{4} \ \textrm{dla}\ n= 1, 2, \ldots,97. $

Dla $n = 1$ jest na mocy (1)

$ P(M_{97}) = \frac{1}{2} P(M_{98}) + \frac{1}{2} P(M_{99}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8} < \frac{3}{4}. $

Załóżmy, że dla pewnego $n$ $(1 < n < 97)$ i dla $k = 1, 2, \ldots, n$ jest $P(M_{98-k}) < \frac{3}{4}$ .

$ P(M_{98-(n+1)}) = \frac{1}{2} P(M_{98-n}) + \frac{1}{2} P(M_{98-n+1}) < \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}. $