XXXI - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

III

Udowodnić, że dla każdego wielomianu $W$ trzech zmiennych istnieją takie wielomiany $U$ i $V$ , że tożsamościowo zachodzą równości

$ \begin{split} W(x, y,z) = U (x, y, z) + V (x, y, z), U (x, y, z) = U (y, x, z), V(x, y,z) = -V(x, z, y). \end{split} $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielomiany $U$ i $V$ spełniają warunki zadania. Wobec tego

$ (*) \qquad\begin{split} W(x, y, z) &= U(x, y, z) + V(x, y, z) \\ W(y, x, z) &= U(x, y, z) + V(y, x, z) \\ W(x, z, y) &= U(x, z, y) - V(x, y, z) \\ W(y, z, x) &= U(y, z, x) - V(y, x, z) \\ W(z, x, y) &= U(x, z, y) + V(z, x, y) \\ W(z, y, x) &= U(y, z, x) - V(z, x, y). \end{split} $

Z dwóch pierwszych równań wyliczamy

$ U (x, y,z) = \frac{1}{2} W(x, y,z) + \frac{1}{2} W(y, x, z) - \frac{1}{2} V(x, y,z) - \frac{1}{2} V(y, x, z). $

Z dwóch kolejnych równań układu (*) otrzymujemy

$ V(x,y, z) = - W (x, z,y) + U(x,z,y), $

$ V(y, x, z) = - W(y, z, x) + U (y, z, x), $

więc

$ \begin{split} U(x,y,z) = \frac{1}{2} W(x,y,z) + \frac{1}{2} W(y,x,z) + \frac{1}{2} W(x,z,y)- \frac{1}{2} U(x,z,y)+\\ + \frac{1}{2} W(y,z,x)-\frac{1}{2} U(y,z,x). \end{split} $

Wreszcie z ostatnich dwóch równań układu (*) wynika

$ U(x,z,y) = W (z,x,y) - V(z,x,y) $

$ U(y, z, x) = W(z,y, x) + V(z, x,y), $

więc

$ \begin{split} U(x, y,z)&=\frac{1}{2} W(x, y, z) + \frac{1}{2} W(y, x, z) + \frac{1}{2} W(x, z,y)+ \frac{1}{2} W(y, x, z) + \\ & \quad- \frac{1}{2} W(z,x,y)+ \frac{1}{2} V(z, x ,y) - \frac{1}{2} W (z, y, x) - \frac{1}{2} V (z, x, y)\\ U(x, y, z) &= \frac{1}{2} (W(x, y, z) + W(y, x, z) + W(x, z, y)+ W(y, z, x)+\\ &\quad - W(z,x,y) - W(z,y,x)). \end{split} $

Wobec tego

$ \begin{split} V(x,y,z) &= W(x,y,z) - U(x,y,z) = \\ &=\frac{1}{2} (W(x,y,z)-W(y,x,z)-W(x,z,y)+\\ &\quad- W(y, z, x) + W (z, x, y) + W(z,y, x)) \end{split} $

Z określenia $V$ wynika, że wielomiany $U$ i $V$ zdefiniowane wyżej spełniają związek

$ W(x, y,z) = U(x, y, z) + V(x, y, z). $

Sprawdzamy bezpośrednio, że

$ \begin{split} U(y, x, z) &= \frac{1}{2} (W(y, x, z) + W(x, y, z) + W(y, z, x) + W(x, z, y) +\\ &\quad - W(z,y, x) - W (z, x,y)) = U(x,y, z),\\ V(x, z,y) &= \frac{1}{2} (W(x, z,y) - W(z, x,y) - W(x,y, z) - W(z,y,x)+ W(y, x, z) +\\ &\quad + W(y, z,x)) = \frac{1}{2}(- W(x, y, z) + W(y, x, z) + W(x, z, y) +\\ &\quad + W(y, z, x) - W (z, x,y) - W(z,y, x)) = -V(x,y, z). \end{split} $

Wykazaliśmy więc, że wielomiany

$ \begin{split} U(x,y,z)=& \frac{1}{2} (W(x,y, z) + W(y, x, z) + W(x, z,y) + W(y, z,x)+\\ & -W(z,x,y)- W(z,y,x)),\\ V(x, y, z) =& \frac{1}{2} (W(x,y, z) - W(y, x, z) - W(x, z,y) - W(y, z, x) + \\ & + W(z,x,y) + W(z,y,x)) \end{split} $

spełniają wymagania zadania, przy czym są to jedyne wielomiany spełniające te wymagania.