XXXI - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

III

W czworościanie pola sześciu trójkątów, których bokami są krawędzie, a wierzchołkami środki przeciwległych krawędzi czworościanu, są równe. Udowodnić, że czworościan ten jest foremny.

Rozwiązanie

Założenie zadania gwarantuje równość pól sześciu trójkątów, z których każdy ma podstawę będącą krawędzią czworościanu, a wierzchołek przeciwległy jest środkiem przeciwległej krawędzi. Na czworościanie $ABCD$ opisujemy równoległościan $A_1CB_1DAC_1BD_1$ , którego każda ściana zawiera pewną krawędź czworościanu i jest równoległa do przeciwległej krawędzi czworościanu. Z założenia o równości pól sześciu trójkątów, których bokami są krawędzie a wierzchołkami środki przeciwległych krawędzi czworościanu wynika, że przekroje równoległościanu płaszczyznami zawierającymi przeciwległe krawędzie mają równe pola, bo np. pole $A_1B_1BA$ jest równe $2 \cdot$ pole $\triangle ABK_1$ , pole $CDD_1C_1$ równe jest $2 \cdot$ pole $\triangle CDK$ itp. dla pozostałych czterech przekrojów.

Poprowadźmy teraz płaszczyznę prostopadłą do pewnej krawędzi rozważanego równoległościanu, np. do $\overline{AA_1}$ . Przecina ona proste $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ odpowiednio w punktach $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ , $D_2$ , przy czym $A_2C_2B_2D_2$ jest równoległobokiem. Ponieważ pole $ABB_1A_1$ jest równe $AA_1 \cdot A_2B_2$ oraz pole $CDD_1C_1$ jest równe $CC_1 \cdot C_2D_2$ , przy czym pola te są równe i $AA_1 = CC_1$ , więc $A_2B_2 = C_2D_2$ . Wobec tego równoległobok $A_2C_2B_2D_2$ ma przekątne równej długości, jest więc prostokątem. Wynika stąd, że ściany $AC_1CA_1$ i $CB_1BC_1$ ; $CB_1BC_1$ i $B_1DD_1B$ ; $B_1DD_1B$ i $A_1DD_1A$ są do siebie prostopadłe.

Prowadząc płaszczyznę prostopadłą do krawędzi $AC_1$ a następnie płaszczyznę prostopadłą do krawędzi $AD_1$ stwierdzimy w analogiczny sposóbj że każde dwie ściany równoległościanu mające wspólną krawędź są prostopadłe, a więc równoległościan jest prostopadłościanem. Jeśli $x$ , $y$ , $z$ są długościami krawędzi tego prostopadłościanu, to ponieważ (jak stwierdziliśmy wyżej) przekroje poprowadzone przez przeciwległe krawędzie mają równe pola, więc