XXX OM - III etap

III etap XXX Olimpiady Matematycznej

XXX OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Dany jest zbiór $\{r_1, r_2, \ldots, r_k\}$ liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez liczbę naturalną $m$ dają różne reszty. Udowodnić, że jeżeli $k > \frac{m}{2}$ , to dla każdej liczby całkowitej $n$ istnieją takie $i$ oraz $j$ ( $n$ niekoniecznie różne), że liczba $r_i + r_j - n$ jest podzielna przez $m$ .

Rozwiązanie

Zbiór $A$ reszt, jakie dają przy dzieleniu przez $m$ liczby $n-r_1, n-r_2, \ldots, n-r_k$ , zawiera więcej niż $\displaystyle \frac{m}{2}$ elementów. Również zbiór $B$ reszt, jakie dają przy dzieleniu przez $m$ liczby $r_1, r_2, \ldots, r_k$ , zawiera więcej niż $\displaystyle \frac{m}{2}$ elementów. Zbiory $A$ i $B$ są zawarte w zbiorze $m$ -elementowym wszystkich reszt, jakie dają przy dzieleniu przez $m$ liczby całkowite.

Wobec tego zbiory $A$ i $B$ nie są rozłączne, to znaczy dla pewnych $i$ oraz $j$ liczba $r_i$ daje tę samą resztę przy dzieleniu przez $m$ , co liczba $n-r_j$ . Różnica tych liczb, równa $r_i + r_j - n$ , jest więc podzielna przez $m$ .

XXX OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie danym czworościanem, a punkty $P$ i $Q$ odpowiednio - środkami kół wpisanych w ściany $ABC$ i $ABD$ (rys. 15).

Niech $R'$ i $R''$ odpowiednio będą punktami przecięcia prostej $AB$ z prostymi $CP$ i $DQ$ . Ponieważ środek koła wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych jego kątów, więc $\overline{CR'}$ jest dwusieczną kąta $\measuredangle ACB$ , a $\overline{DR''}$ jest dwusieczną kąta $\measuredangle ADB$ . Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków. Wobec tego

$ \frac{AR'}{BR'} = \frac{AC}{BC} \ \textrm{i} \ \frac{AR''}{BR''} = \frac{AD}{BD} $

Zatem $R' = R''$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}$ .

Proste $DP$ i $CQ$ mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $C$ , $D$ , $P$ , $Q$ należą do jednej płaszczyzny, to znaczy, gdy proste $CP$ i $DQ$ mają punkt wspólny, a więc, gdy $R' = R''$ .

Dowiedliśmy więc, że proste $m_C$ i $m_D$ łączące wierzchołki $C$ i $D$ odpowiednio ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $AC \cdot BD = BC \cdot AD$ .

Analogicznie dowodzimy, że podobne proste $m_B$ i $m_C$ poprowadzone z wierzchołków $B$ i $C$ odpowiednio mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $AB \cdot DC = DB \cdot AC$ ; również proste $m_A$ i $m_E$ mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $AC \cdot BD = BC \cdot AD$ itd.

Jeżeli więc proste $m_A$ , $m_B$ , $m_C$ , $m_D$ mają punkt wspólny, to

$ (1) \qquad AC \cdot BD = BC \cdot AD = AB \cdot DC. $

Na odwrót, jeżeli zachodzą równości (1), to każda para prostych spośród $m_A$ , $m_B$ , $m_C$ , $m_D$ ma punkt wspólny. Gdyby na przykład punkty przecięcia prostej $m_C$ z prostymi $m_A$ i $m_B$ były różne, to prosta $m_C$ byłaby zawarta w płaszczyźnie wyznaczonej przez przecinające się proste $m_A$ i $m_B$ . Jest to niemożliwe, ponieważ płaszczyzna zawierająca punkty $A$ , $B$ i $C$ nie zawiera żadnej z tych prostych. Zatem prosta $m_C$ przecina każdą z prostych $m_A$ , $m_B$ , $m_D$ w tym samym punkcie. Wszystkie te cztery proste mają więc punkt wspólny.

XXX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Doświadczenie polega na wykonaniu $n$ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $i$ -tej próbie wynosi $p_i$ . Niech $r_k$ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $k$ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k. $

Rozwiązanie

Niech $\{1,2, \ldots,n\} = A_k \cup B_k$ , gdzie $A_k = \{i_1, i_2, \ldots, i_k \}$ i $B_k = \{i_{k+1}, i_{k+2}, \ldots, i_n \}$ , będzie rozkładem zbioru $\{1, 2, \ldots, n \}$ na sumę zbioru $k$ -elementowego i $(n-k)$ -elementowego.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że próby o numerach $i_1, i_2, \ldots,i_k$ dały wynik pozytywny, a pozostałe próby - wynik negatywny, jest równe

$ p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k} (1 - p_{i_{k+1}}) (1-p_{i_{k+2}}) \ldots (1-p_{i_n}). $

Wobec tego

$ (1) \qquad r_k = \sum_{A_k} p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k} (1 -p_{i_{k+1}})(1 - p_{i_{k+2}}) \ldots (1 - p_{i_n}), $

gdzie sumowanie jest ze względu na wszystkie podzbiory $k$ -elementowe $A_k = \{ i_1, i_2, \ldots, i_k\}$ zbioru $\{1, 2, \ldots, n\}$ .

Rozpatrzmy wielomian

$ (2) \qquad w(x) = (p_1x + (1-p_1))(p_2x + (1-p_2)) \ldots (p_nx + (1-p_n)). $

Wymnażając zewnętrzne nawiasy na mocy (1) otrzymujemy

$ (3) \qquad w(x) = r_nx^n + r_{n-1} x^{n-1} + \ldots + r_1x + r_0. $

Dbliczamy pochodną wielomianu w korzystając ze wzoru (2):

$ w'(x)= \sum_{i=1}^n \frac{p_iw(x)}{p_ix + (1-p_i)}. $

Wobec tego $w' (1) = \sum_{i=1}^n p_i$ , ponieważ $w(1) = 1$ na mocy (2).

Z drugiej strony obliczamy pochodną wielomianu w korzystając ze wzoru (3):

$ w' (x) = nr_nx^{n-1} + (n - 1)r_{n-1}x^{n-2} + \ldots + 2r_2x + r_1, $

i stąd

$ w'(1) = \sum_{k=1}^n kr_k. $

Porównując otrzymane wartości na $w'$ (1) otrzymujemy tezę zadania.

XXX OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Dane są liczby rzeczywiste $A > 1$ i $B > 1$ oraz ciąg $(x_n)$ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $(y_n)$ liczb z przedziału $[1, A]$ , że

$ \frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots . $

Rozwiązanie

Nierówność podana w zadaniu jest równoważna następującej

$ (1) \qquad \frac{x_m}{y_m} \leq B \cdot \frac{x_n}{y_n} \ \textrm{dla}\ m, n = 1, 2, \ldots . $

Zauważmy, że jeżeli

$ (2) \qquad 1 \leq \frac{x_k}{y_k} \leq B \ \textrm{dla}\ k = 1, 2, \ldots , $

to będzie spełniona nierówność (1). Istotnie, z (2) wynika, że

$ \frac{x_m}{y_m} \leq B = B \cdot 1 \leq B \cdot \frac{x_n}{y_n} \ \textrm{dla}\ m, n = 1, 2, \ldots . $

Dla rozwiązania zadania wystarczy więc znaleźć taki ciąg $(y_k)$ , by $1 \leq y_k \leq A$ oraz, by był spełniony warunek (2), tzn. $\frac{x_k}{B} \leq y_k \leq x_k$ . Istnieje liczba $y_k$ spełniająca oba te warunki, ponieważ $1 \leq x_k$ oraz $\frac{x_k}{B} \leq A$ na mocy warunków zadania.

XXX OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

Rozwiązanie

Niech $ABC$ będzie trójkątem wpisanym w koło i niech $B'$ będzie środkiem łuku $\widehat{ABC}$ (rys. 16).

Udowodnimy, że $AB \cdot BC \leq AB' \cdot B'C$ .

Pole $S_{ABC}$ trójkąta $ABC$ jest nie większe od pola $S_{AB'C}$ trójkąta $AB'C$ ponieważ odległość punktu $B$ od prostej $AC$ jest nie większa od odległości punktu $B'$ od tej prostej. Kąty $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle AB'C$ mają równe miary, ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Przyjmijmy $\measuredangle ABC = \varphi$ . Mamy więc

$ S_{ABC}= \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \varphi,\ S_{AB'C} = \frac{1}{2} AB' \cdot B'C \sin \varphi. $

Wobec tego $AB \cdot BC \leq AB' \cdot B'C$ .

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Niech $ABCD$ będzie czworokątem wpisanym w koło o promieniu długości $1$ . Niech $B'$ i $D'$ będą odpowiednio środkami łuków $\widehat{ABC}$ i $\widehat{ADC}$ . Wtedy $\overline{B'D}$ jest średnicą danego koła prostopadłą do cięciwy $\overline{AC}$ .

Na mocy początkowej uwagi mamy

$ (1) \qquad AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \leq AB' \cdot B'C \cdot CD' \cdot D'A. $

Z kolei niech $A'$ i $C'$ będą odpowiednio środkami łuków $\widehat{B'AD}$
oraz $\widehat{B'CD'}$ . Wtedy $\overline{A'C'}$ jest średnicą danego koła prostopadłą średnicy $\overline{B'D'}$ . Na mocy początkowej uwagi mamy

$ (2) \qquad D'A \cdot AB' \cdot B'C \cdot CD' \leq D'A' \cdot A'B' \cdot B'C' \cdot C'D'. $

Ponieważ przekątne $\overline{A'C'}$ i $\overline{B'D'}$ czworokąta $A'B'C'D'$ są prostopadłe i równe, więc jest on kwadratem. Kwadrat wpisany w koło o promieniu długości $1$ ma bok długości $\sqrt{2}$ Zatem $A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = \sqrt{2}$ . Z (1) i (2) wynika więc, że

$ AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \leq (\sqrt{2})^4 = 4. $

XXX OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Wielomian $w$ stopnia $n$ ( $n>1$ ) ma $n$ różnych pierwiastków Wnczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ . Udowodnić, że

$ \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0. $

Rozwiązanie

Z założenia wynika, że

$ (1) \qquad w(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \ldots (x-x_n),\ \textrm{gdzie} \ a \ne 0. $

Dla $i = 1, 2, \ldots, n$ niech $w_i(x)$ będzie wielomianem $\displaystyle \frac{w(x)}{x-x_i}$ , to znaczy wielomianem powstającym z $w(x)$ przez wykreślenie czynnika $x - x_i$ w przedstawieniu (1).

Ponieważ liczby $x_1, x_2, \ldots,x_n$ są różne, więc $w_i(x_i) \ne 0$
dla $i=1,2,\ldots, n$ oraz oczywiście $w_i(x_j) = 0$ dla $i \ne j$ .

Obliczając pochodną wielomianu $w(x)$ otrzymujemy

$ w'(x) = w_1(x) + w_2(x) + \ldots + w_n(x). $

Wobec tego $w'(x_i) = w_i(x_i)$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ .

Rozpatrzmy wielomian

$ (2) \qquad F(x)= \frac{w_1(x)}{w'(x_1)} + \frac{w_2(x)}{w'(x_2)} + \ldots \frac{w_n(x)}{w'(x_n)} - 1. $

Stopień wielomianu $F$ nie przekracza $n-1$ , ponieważ każdy z wielomianów $w_1, w_2,\ldots,w_n$ ma stopień $n-1$ . Mamy też dla $i = 1,2, \ldots, n$

$ F(x_i) = \sum_{j=1}^{n} \frac{w_j(x_i)}{w'(x_j)} - 1= \frac{w_i(x_i)}{w'(x_i)} - 1=0. $

Wielomian $F$ ma więc co najmniej $n$ pierwiastków. Liczba pierwiastków wielomianu niezerowego nie przekracza jego stopnia. Wobec tego $F$ jest wielomianem zerowym. W szczególności współczynnik przy $x^{n-1}$ w wielomianie $F$ jest równy zeru.

Ponieważ = $w_i(x) =a x^{n-1} + \ldots$ i $n > 1$ , więc współczynnik przy $x^{n-1}$ w wielomianie $F$ na mocy (2) jest równy,

$ \frac{a}{w'(x_1)} + \frac{a}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{a}{w'(x_n)}. $

Wynika stąd teza zadania.