XXX OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Danych jest siedem liczb należących do przedziału, $[1, 10]$ . Udowodnić, że trzy spośród nich są długościami boków pewnego trójkąta.

Rozwiązanie

Trzy liczby dodatnie są długościami boków pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy największa z tych liczb jest mniejsza od sumy dwóch pozostałych. Ponumerujmy dane liczby $a_1, a_2, \ldots, a_7$ tak, by tworzyły ciąg niemalejący. Wtedy $1 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_7 \leq 10$ . Przypuśćmy, że żadne trzy kolejne z danych liczb nie są długościami boków trójkąta. Wtedy otrzymujemy kolejno

$ a_3 \geq a_1 + a_2 \geq 1 + 1 = 2,\ a_4 \geq a_2 + a_3 \geq 1 + 2 = 3, $

$ a_5 \geq a_3 + a_4 \geq 2 + 3 = 5,\ a_6 \geq a_4 + a_5 \geq 3 + 5 = 8, $

$ a_7 \geq a_5 + a_6 \geq 5 + 8 = 13. $

Uzyskaliśmy sprzeczność, ponieważ $a_7 \leq 10$ . Sprzeczność ta dowodzi, że wśród danych liczb istnieją takie trzy kolejne, które są długościami boków pewnego trójkąta.