XXX OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Liczby $a, b, c, d, e$ są liczbami wymiernymi dodatnimi. Dowieść, że istnieją takie liczby wymierne $u_1, u_2, \ldots, u_n$ oraz liczby wymierne nieujemne $w_1, w_2, \ldots, w_n$ , że

$ \frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{d}+\sqrt[4]{e}} = u_1\sqrt[4]{w_1} + u_2\sqrt[4]{w_2} + \ldots + u_n\sqrt[4]{w_n}. $

Rozwiązanie

Niech $A$ będzie zbiorem wszystkich wielomianów niezerowych o współczynnikach wymiernych. Liczbę $\alpha$ nazywamy algebraiczną, jeżeli jest pierwiastkiem pewnego wielomianu należącego do $A$ .

Udowodnimy najpierw kilka prostych własności liczb algebraicznych.

Jeżeli $\alpha$ jest liczbą algebraiczną, to $\alpha + 1$ też jest liczbą algebraiczną. Jeżeli bowiem $f \in A$ i $f(\alpha) = 0$ , to oczywiście wielomian $g$ określony wzorem $g(x) = f(x - 1)$ też należy do $A$ i $g(\alpha + 1) = f(\alpha) = 0$ .

Wykażemy, że jeżeli $\alpha$ jest liczbą algebraiczną, to $\alpha^2$ jest liczbą algebraiczną.

Zakładamy więc, że istnieje wielomian $f \in A$ spełniający $f(\alpha) = 0$ . Przenosząc w tej równości wszystkie składniki zawierające $\alpha$ w potęgach parzystych na jedną stronę, a w potęgach nieparzystych - na drugą, i podnosząc obie strony do kwadratu otrzymamy równość postaci $f_1 (\alpha^2) =f_2(\alpha^2)$ , gdzie $f_1$ i $f_2$ są różnymi wielomianami o współczynnikach wymiernych. Zatem $f_1-f_2 \in A$ oraz $(f_1 - f_2) (\alpha^2) = 0$ . Liczba $\alpha^2$ jest więc algebraiczna.

Udowodnimy z kolei, że jeżeli $\alpha$ jest liczbą algebraiczną, a $\omega$ - liczbą wymierną dodatnią, to liczba $\alpha \cdot \sqrt[4]{\omega}$ jest algebraiczna. Jak dowiedliśmy, liczba $\alpha^2$ , a więc i liczba $\alpha^4 = (\alpha^2)^2$ jest algebraiczna, tzn. zachodzi równość postaci

$ c_0 + c_1\alpha^4 + c_2 \alpha^8 + \ldots + c_k\alpha^{4k} = 0, $

gdzie $c_0, c_1, \ldots, c_k$ są liczbami wymiernymi i $c_k \ne 0$ .

Przyjmując

$ g(x) = c_0 + c_1\omega^{-1}x^4 + c_2w^{-2}x^8 + \ldots + c_kw^{-k}x^{4k} $

stwierdzamy bez trudu, że $g \in A$ oraz $g(\alpha \sqrt[4]{\omega}) = 0$ . Zatem liczba $\alpha \sqrt[4]{\omega}$ jest algebraiczna.

Wykażemy wreszcie, że jeżeli liczba $\alpha$ jest algebraiczna a liczba $u$ --- wymierna dodatnia, to liczba $\alpha + \sqrt[4]{u}$ jest algebraiczna.

Teza wynika z łatwej do sprawdzenia równości

$ \alpha + \sqrt[4]{u} = \sqrt[4]{u} ( \alpha \sqrt[4]{u^{-1}} + 1) $

i z poprzedniej części dowodu.

Wynika stąd, że liczba $\beta = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}+ \sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d} + \sqrt[4]{e}$ dana w zadaniu jest algebraiczna. Zachodzi więc równość postaci

$ b_0 + b_1 \beta + b_2 \beta^2 + \ldots + b_m \beta^m = 0, $

gdzie $b_0, b_1, \ldots, b_m$ są liczbami wymiernymi i $b_m \ne 0$ . Ponieważ $\beta \ne 0$ , więc możemy przyjąć, że $b_0 \ne 0$ , a dzieląc stronami ostatnią równość przez $b_0$ - że $b_0 = 1$ . Zatem z równości tej otrzymujemy, że

$ \frac{1}{\beta} = -(b_1 + b_2 \beta + \ldots +b_m \beta^{m-1}). $

Z określenia liczby $\beta$ wynika, że prawa strona ostatniej równości może być zapisana w postaci sumy czwartych pierwiastków z pewnych liczb wymiernych dodatnich, o współczynnikach wymiernych.

Uwaga. Prawdziwe jest twierdzenie: {\it Suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb algebraicznych jest liczbą algebraiczną}. Z twierdzenia tego wynika natychmiast, że lewa strona równości podanej w zadaniu jest liczbą algebraiczną.