XXX OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

W wielościanie wypukłym $Q$ umieszczono wielościan wypukły $P$ , w którym obrano punkt wewnętrzny $O$ . Dla każdego punktu $X$ leżącego na ścianie wielościanu $Q$ oznaczono przez $P_X$ punkt przecięcia odcinka $\overline{OX}$ ze ścianą wielościanu $P$ . Dowieść, że istnieje taki wierzchołek $Y$ wielościanu $Q$ , że

$ \frac{OY}{OP_Y} \geq \frac{OX}{OP_X} $

dla każdego punktu $X$ leżącego na dowolnej ścianie wielościanu $Q$ .

Rozwiązanie

Jeżeli punkt $X$ należy do ściany (lub krawędzi) wielościanu $Q$ , to istnieją takie punkty $A$ i $B$ należące do krawędzi wielościanu $Q$ (odpowiednio: do zbioru jego wierzchołków), że punkt $X$ należy do odcinka $\overline{AB}$ . Niech $A'$ i $B'$ będą takimi punktami, że $A' \in \overline{OA}$ , $B' \in \overline{OB}$ , $A'B' \parallel AB$ i $P_X \in \overline{A'B'}$ (rys. 5).

Z wypukłości wielościanu $P$ wynika, że $P_A \in \overline{A'O}$ lub $P_B \in \overline{B'O}$ . Niech na przykład $P_A \in \overline{A'O}$ , czyli $OP_A \leq OA'$ . Wtedy na mocy twierdzenia Talesa otrzymujemy

$ \frac{OX}{OP_X} = \frac{OA}{OA'} \leq \frac{OA}{OP_A} $

Dowiedliśmy więc, że dla każdego punktu $X$ należącego do ściany wielościanu $Q$ istnieje taki punkt $A$ należący do krawędzi tego wielościanu, że

$ \frac{OX}{OP_X} \leq \frac{OA}{OP_A}. $

Analogicznie stwierdzamy, że dla każdego punktu $A$ należącego do krawędzi wielościanu $Q$ istnieje taki punkt $Y$ będący wierzchołkiem tego wielościanu, że

$ \frac{OA}{OP_A} \leq \frac{OY}{OP_Y}. $

Wynika stąd teza zadania.

Uwaga. W rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że wielościan $Q$ jest wypukły.