XXX OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Znaleźć taką liczbą rzeczywistą $m$ , dla której iloczyn pewnych dwóch pierwiastków rzeczywistych równania

$ 2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8 = 0 $

wynosi 2.

Rozwiązanie

Jeżeli $a$ i $b$ są pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu

$ f(x) = 2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8, $

to na mocy twierdzenia Bezouta wielomian ten można zapisać w postaci

$ f(x) = (x - a) (x - b) (2x^2 + cx + d), $

gdzie $c$ i $d$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Porównując współczynniki przy tych samych potęgach $x$ w obu przedstawieniach wielomianu $f$ otrzymujemy

$ \begin{split} & (1) \qquad -2(a + b) + c = -7 \\ & (2) \qquad 2ab - c(a + b) + d = m \\ & (3) \qquad abc - (a + b)d = 22 \\ & (4) \qquad abd = -8 \end{split} $

Na mocy warunków zadania możemy przyjąć $ab = 2$ . Wtedy z (4) wynika, że $d = -4$ i wobec tego równanie (3) przybiera postać $2c + 4 (a + b) = 22$ , czyli $c + 2(a+ b) = 11$ . Dodając do tej równości obustronnie (1) otrzymujemy $2c = 4$ , czyli $c = 2$ . Podstawiając tę wartość do (1) otrzymujemy $a + b = \frac{9}{2}$ . Wobec tego z (2) wynika, że $m = 2 \cdot 2 - 2 \cdot \frac{9}{2} - 4 = -9$ .

Z otrzymanych wyżej równości $a + b = \frac{9}{2}$ i $ab = 2$ na mocy wzorów Viete'a wynika, że liczby $a$ i $b$ są pierwiastkami trójmianu $t^2 - \frac{9}{2} t+2$ . Ponieważ wyróżnik tego trójmianu jest liczbą dodatnią, więc liczby $a$ i $b$ są rzeczywiste.

Z powyższego wynika, że dla $m = -9$ (i tylko dla tej wartości w) istnieją liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniające układ równań (1) - (4). Wobec tego liczba $m = - 9$ i tylko ta liczba spełnia warunki zadania.