XXX OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie środek koła wpisanego, punkt przecięcia wysokości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej, to trójkąt jest równoramienny.

Rozwiązanie

W trójkącie $ABC$ niech $O$ , $P$ , $Q$ będą odpowiednio punktem przecięcia wysokości, środkiem koła wpisanego i środkiem koła opisanego. Na mocy warunków zadania punkty $O$ , $P$ , $Q$ leżą na jednej prostej.

Jeżeli $O = Q$ , to każda z wysokości tego trójkąta jest symetralną odpowiedniego boku. Wtedy oczywiście trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Niech więc $O \ne Q$ . Rozpatrzymy przypadek, gdy trójkąt $ABC$ jest ostrokątny. Wtedy punkty $O$ , $P$ , $Q$ należą do jego wnętrza. Jeżeli trójkąt $ABC$ nie jest ostrokątny, to rozumowanie przebiega podobnie.

Co najmniej dwa wierzchołki trójkąta $ABC$ nie należą do prostej $OQ$ . Niech na przykład $B, C \ne OQ$ . Ponieważ $Q$ jest środkiem koła opisanego na trójkącie $ABC$ , a kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, więc $\measuredangle AQC = 2 \measuredangle ABC$ . Mamy też $\measuredangle QAC = \measuredangle QCA$ , ponieważ $AQ = QC$ (rys. 6).

Wobec tego $\pi = \measuredangle QAC + \measuredangle QCA + \measuredangle AQC = 2(\measuredangle QCM + \measuredangle ABC)$ , tzn. $\measuredangle QCA = \frac{\pi}{2} - \measuredangle ABC = \measuredangle BCO$ . Wynika stąd, że $CP$ jest dwusieczną kąta $\measuredangle OCQ$ . Dwusieczna kąta w trójkącie $OCQ$ dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków. Wobec tego

$<br /> \frac{OC}{QC} = \frac{OP}{QP} = \frac{OB}{QB}.<br />$

Stąd wobec $QC = QB$ wynika, że $OC = OB$ . Zatem $\measuredangle OCB = \measuredangle OBC$ i wobec tego $\measuredangle ABC = \frac{\pi}{2} - \measuredangle OCB = \frac{\pi}{2} - \measuredangle OBC = \measuredangle ACB$ . Trójkąt $ABC$ jest więc równoramienny.