I OM - B - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Ile boków ma wielokąt, którego każdy kąt jest $k$ razy większy od kąta przyległego ? Jakie wartości może przybierać $k$ ?

Rozwiązanie

Jeśli każdy kąt wielokąta jest $k$ razy większy od kąta przyległego,
to suma wszystkich $n$ kątów wielokąta, która - jak
wiadomo - równa się $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ , jest także $k$ razy większa
od sumy odpowiednich kątów przyległych (czyli kątów zewnętrznych),
tzn. jest $k$ razy większa od $360^{\circ}$ . Zatem

$<br /> (n - 2) \cdot 180^{\circ} = k \cdot 360^{\circ},<br />$

skąd

$<br /> n - 2 = 2k \quad \text{i} \quad n = 2k + 2.<br />$

Ponieważ $n - 2$ musi być liczbą naturalną, więc $2k$ powinno
być liczbą naturalną, czyli $k$ musi być równe połowie
liczby naturalnej, a więc $k = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots$