XXX OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Spośród stożków wpisanych w kulę $B$ wybrano taki stożek $S_1$ że kula $K_1$ wpisana w stożek $S_1$ ma maksymalną objętość. Następnie w kulę $B$ wpisano stożek $S_2$ o maksymalnej objętości, a w stożek $S_2$ wpisano kulę $K_2$ . Rozstrzygnąć, co jest większe: suma objętości $S_1$ i $K_1$ , czy suma objętości $S_2$ i $K_2$ .

Rozwiązanie

Niech $S$ będzie dowolnym stożkiem wpisanym w daną kulę $B$ , a $K$ - kulą wpisaną w stożek $S$ . Przekrój osiowy stożka $S$ jest trójkątem równoramiennym $ACD$ , gdzie $A$ jest wierzchołkiem stożka (rys. 7).

Niech $O$ będzie środkiem kuli $B$ , a $Q$ - środkiem kuli $K$ . Wtedy $O$ jest środkiem koła opisanego na trójkącie $ACD$ , a $Q$ - środkiem koła wpisanego w ten trójkąt. Niech $P$ będzie środkiem odcinka $\overline{CD}$ , a $M$ i $N$ odpowiednio - rzutami prostokątnymi punktów $Q$ i $O$ na prostą $AD$ .

Przyjmijmy $\alpha = \measuredangle PAD$ , $R = AO$ . Mamy następujące zależności:

$ AN = ND = R \cos \alpha, $

$ AP = AD \cos \alpha = 2R \cos^2 \alpha, $

$ DP = AD \sin \alpha = 2R \sin \alpha \cos \alpha. $

Wobec tego objętość $V_s$ stożka $S$ jest równa

$ V_S = \frac{1}{3} \pi (DP)^2 \cdot AP = \frac{8}{3} \pi R^3 \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha, $

czyli

$ (1) \qquad V_S = \frac{8}{3} \pi R^3 a^2(1-a^2)^2, $

gdzie przyjęliśmy $a = \sin \alpha$ .

Mamy następnie $MQ = QP$ . Zatem $AP \sin \alpha = QP \sin \alpha + AQ \sin \alpha = MQ \sin \alpha + MQ$ i wobec tego

$ MQ = \frac{AP \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = \frac{2R (1 - sin^2 \alpha) \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = 2R \sin \alpha (1 - \sin \alpha) = 2Ra (1-a). $

Objętość $V_K$ kuli $K$ jest więc równa

$ (2) \qquad V_K = \frac{4}{3} \pi MQ^3 = \frac{32}{3} \pi R^3 a^3 (1 - a)^3. $

Zatem suma $V = V(a)$ objętości stożka $S$ i kuli $K$ jest równa na mocy (1) i (2):

$ (3) \qquad V(a) = V_S + V_K = \frac{8}{3} \pi R^3 a^2(1-a)^2 ((1+a)^2 + 4a(1-a)) = \frac{8}{3} \pi R^3 a^2(1-a)^2 (1 + 6a - 3a^2). $

Z warunków zadania wynika, że $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ . Wobec tego liczba $a = \sin \alpha$ należy do przedziału $(0,1)$ .

W tym przedziale funkcja $f(a) = a (1 - a^2)$ przyjmuje maksymalną wartość przy $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , ponieważ jest to jedyne miejsce zerowe pochodnej $f'(a) =1 - 3a^2$ w tym przedziale oraz $f(0) =f(1) = 0$ i $f(a) > 0$ dla $0 < a < 1$ . Wobec tego ze wzoru (1) wynika, że stożek $S$ ma maksymalną objętość przy $a = \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Analogicznie stwierdzamy, że funkcja $g(a) = a(1 - a)$ w przedziale $(0, 1)$ przyjmuje maksymalną wartość przy $a = \frac{1}{2}$ . Wobec tego ze wzoru (2) wynika, że kula $K$ ma maksymalną objętość przy $a = \sin \alpha = \frac{1}{2}$ , tzn. przy $\alpha = \frac{\pi}{6}$ .

Z kolei obliczamy wartości funkcji $V(a)$ określonej wzorem (3) w punktach $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ i $a = \frac{1}{2}$ . Otrzymujemy:

$ \begin{split} V \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{8}{3} \pi R^3 \cdot & \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} \right) (1 + 2\sqrt{3} -1)=\\ & \frac{8 \pi R^3}{3} \cdot \frac{4}{9} (2\sqrt{3} - 3), \end{split} $

$ \begin{split} V \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{8}{3} \pi R^3 \cdot & \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \left( 1 + 3 - \frac{3}{4} \right) = \frac{8 \pi R^3}{3} \cdot \frac{13}{64}. \end{split} $

Sprawdzamy bez trudu, że $\frac{4}{9} (2\sqrt{3} - 3) > \frac{13}{64}$ , a więc $V \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) > V \left( \frac{1}{2} \right)$ . Wobec tego suma objętości $S_2$ o $K_2$ jest większa niż suma objętości $S_1$ i $K_1$ .