XXX OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Dana jest liczba dodatnia $p$ oraz trzy różne półproste $OA^{\rightarrow}$ , $OB^{\rightarrow}$ , $OC^{\rightarrow}$ zawarte w płaszczyźnie. Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna taka trójka punktów $K, L, M$ , że $K\in OA^{\rightarrow}$ , $L \in OB^{\rightarrow}$ , $M\in OC^{\rightarrow}$ i obwód każdego z trójkątów $OKL$ , $OLM$ , $OMK$ jest równy $2p$ .

Rozwiązanie

Aby istniały trójkąty, o których jest mowa w zadaniu, należy oczywiście założyć, że żadne dwie z danych półprostych nie są zawarte w jednej prostej.

Zauważmy najpierw, że jeżeli punkty $P$ i $Q$ należą do różnych ramion kąta o wierzchołku $O$ i punkt $Q$ oddala się od $O$ , to obwód trójkąta $OPQ$ rośnie nieograniczenie. Istotnie, niech punkt $Q$ leży między punktami $O$ i $Q'$ (rys. 9).

Wtedy $PQ < QQ' + PQ'$ i wobec tego

$<br /> OP + OQ + PQ < OP + OQ + QQ' + PQ' = OP + OQ' + PQ',<br />$

tzn. obwód trójkąta $OPQ$ jest mniejszy niż obwód trójkąta $OPQ'$ . Ponadto obwód trójkąta $OPQ'$ będzie dowolnie duży, jeżeli tylko obierzemy odpowiednio punkt $Q'$ na półprostej $OQ^\to$ .

Niech liczba $x$ spełnia $O<x<p$ . Niech $K(x)$ będzie takim punktem półprostej $OA^\to$ że $OK(x) = x$ . Taki punkt jest tylko jeden. Następnie niech $L(x) \in OB^\to$ i $M(x) \in OC^\to$ będą takimi, punktami, że obwód każdego z trójkątów $OK(x)L(x)$ oraz $OK(x) M(x)$ jest równy $2p$ . Na mocy początkowej uwagi warunki te wyznaczają jednoznacznie punkty $L(x)$ i $M(x)$ .

Ponieważ

$<br /> OK(x) + OL(x) + K(x) L(x) = 2p \ \textrm{i} \ OK(x) + OM(x) + + K(x) M(x) = 2p,<br />$

więc gdy $x \to 0$ , to $OK(x) \to 0$ , $OL(x) \to p$ , $K (x) L (x) \to p$ , $OM (x) \to p$ , $K (x) M (x) \to p$ .

Podobnie, gdy $x \to p$ , to $OK(x) \to p$ , $OL(x) \to 0$ , $K(x)L(x) \to p$ , $OM(x) \to 0$ , $K(x)M(x) \to p$ .

Wobec tego, gdy $x \to 0$ , to obwód trójkąta $OL(x)M(x)$ dąży do granicy większej od $2p$ , a gdy $x \to p$ , to ten obwód dąży do zera. Ponieważ obwód ten jest funkcją ciągłą zmiennej $x$ , więc dla pewnego $x = x_0$ z przedziału $(0, p)$ obwód trójkąta $OL(x_0) M(x_0)$ jest równy $2p$ .

Zatem punkty $K = K(x_0)$ , $L= L(x_0)$ , $M = M(x_0)$ spełniają warunki zadania.

Udowodnimy, że taka trójka punktów jest tylko jedna. Gdyby również punkty $K' \in OA^\to$ , $L' \in OB^\to$ , $M' \in OC^\to$ spełniały warunki zadania i na przykład $OK < OK'$ , to z początkowej uwagi wynika, że $OL > OL'$ i $OM > OM'$ . Wtedy jednak obwód trójkąta $OLM$ byłby mniejszy niż obwód trójkąta $OL'M'$ . Uzyskana sprzeczność dowodzi, że istnieje tylko jedna trójka punktów spełniająca warunki zadania.