XXX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Dane są punkty $A$ i $B$ na brzegu basenu o kształcie koła. Sportowiec ma dotrzeć z punktu $A$ do punktu $B$ idąc wzdłuż brzegu basenu lub płynąc w basenie; może przy tym wielokrotnie zmieniać sposób poruszania się. Jak powinien poruszać się sportowiec, aby dotrzeć z punktu $A$ do $B$ w najkrótszym czasie, o ile wiadomo, że porusza się on w wodzie dwa razy wolniej niż na lądzie?

Rozwiązanie

Niech promień basenu ma długość $r$ , a łuk $\widehat{AB}$ odpowiada kątowi środkowemu $\alpha$ , gdzie $0 < \alpha \leq \pi$ . Wtedy długość łuku $\widehat{AB}$ jest równa $r\alpha$ , a długość odcinka $\overline{AB}$ jest równa (rys. 10)

$ (1) \qquad AB = 2AC = 2r \sin \frac{\alpha}{2}. $

Udowodnimy, że $r\alpha < 2AB$ . Wyniknie stąd, że poruszając się po łuku $\widehat{AB}$ sportowiec szybciej dotrze z punktu $A$ do $B$ , niż gdyby się poruszał po odcinku $AB$ . A więc powinien iść wzdłuż brzegu basenu, a nie płynąć w basenie.

Na mocy (1) nierówność $r\alpha < 2 AB$ , którą mamy udowodnić, jest równoważna następującej

$ (2) \qquad \alpha < 4 \sin \frac{\alpha}{2} \ \textrm{dla} 0 < \alpha \leq \pi. $

Ze znanego wzoru $\beta < \tan \beta$ dla $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ wynika w szczególności, że

$ (3) \qquad \frac{\alpha}{4} < \tan \frac{\alpha}{4} \ \textrm{dla} \ 0 < \alpha \leq \pi. $

Ponieważ $\displaystyle 0 < \tan \frac{\alpha}{4} \leq 1$ , więc korzystając ze wzoru połówkowego otrzymujemy

$ (4) \qquad \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{4}}{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{4}} \geq \frac{2 \tan \frac{\alpha}{4}}{1+ 1} = \tan \frac{\alpha}{4} > \frac{\alpha}{4} $

na mocy (3). Wynika stąd nierówność (2).

Uwaga. Podzielmy dany kąt $\alpha$ na cztery równe części prostymi $OC$ , $OD$ , $OE$ i niech $AC \bot OA$ , $CE \bot OD$ , $BE \bot OB$ (rys. 11). Wtedy $\displaystyle AC = CD = DE = EB = r \tan \frac{\alpha}{4}$ . Długość łamanej $ACDEB$ jest równa $\displaystyle 4r \tan \frac{\alpha}{4}$ . Nie przekracza więc ona na mocy (4) podwojonej długości odcinka $\overline{AB}$ równej $\displaystyle 4r \sin \frac{\alpha}{2}$ . Zatem nawet idąc wzdłuż tej łamanej sportowiec dotrze z punktu $A$ do $B$ nie później, niż gdyby płynął w basenie.