XXX OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Udowodnić, że jeżeli $a, b, c$ są liczbami nieujemnymi, to

$ a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b). $

Rozwiązanie

Mamy tożsamość

$ (a +b-c)(a-b + c)(-a + b + c) = -a^3 -b^3-c^3 -2abc + a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b). $

Wobec tego dla rozwiązania zadania wystarczy udowodnić, że dla dowolnych liczb nieujemnych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad (a + b - c) (a - b + c) (-a + b + c) \leq abc. $

Mamy

$ \begin{split} & (a + b - c) + ( a - b + c) = 2a \geq 0,\\ & (a + b - c) + (-a + b + c) = 2b \geq 0,\\ & (a - b + c) + (-a + b + c) = 2c \geq 0. \end{split} $

Zatem co najwyżej jedna z liczb $a + b-c$ , $a - b + c$ , $-a + b + c$ jest ujemna. Jeżeli dokładnie jedna z nich jest ujemna, to nierówność (1) zachodzi, ponieważ lewa jej strona jest $\leq 0$ . Załóżmy więc, że wszystkie te liczby są nieujemne.