XXX OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

W przestrzeni dana jest prosta $k$ oraz sześcian o wierzchołku $M$ i krawędziach $\overline{MA}$ , $\overline{MB}$ , $\overline{MC}$ , długości 1. Udowodnić, że długość rzutu prostokątnego krawędzi $MA$ na prostą $k$ jest równa polu rzutu prostokątnego kwadratu o bokach $MB$ i $MC$ na płaszczyznę prostopadłą do prostej $k$ .

Rozwiązanie

Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że prosta $k$ przechodzi przez punkt $M$ (rys. 12) i że rozważana płaszczyzna $\pi$ prostopadła do prostej $k$ też zawiera punkt $M$ . Niech $A'$ będzie rzutem prostokątnym punktu $A$ na prostą $k$ .

Jak wiadomo, jeżeli dwie płaszczyzny przecinają się pod kątem $\varphi$ i w jednej z nich zawarta jest figura o polu $S$ , to rzut prostokątny tej figury na drugą płaszczyznę ma pole $S \cdot \cos \varphi$ .

Niech w naszym zadaniu kąt między płaszczyznami $\pi$ i $MBC$ będzie równy $\varphi$ . Wtedy również kąt między prostymi prostopadłymi do tych płaszczyzn będzie równy $\varphi$ , tzn. $\measuredangle AMA' = \varphi$ .

Pole kwadratu o bokach $\overline{MB}$ i $\overline{MC}$ jest równe $1$ . Wobec tego pole rzutu tego kwadratu na płaszczyznę $\pi$ będzie równe $\cos \varphi$ . Z drugiej strony mamy $MA' = MA \cdot \cos \varphi = \cos \varphi$ . Wynika stąd teza zadania.