Niech 
będzie symetrią płaszczyzny względem prostej 
. Udowodnić, że dla każdych prostych 
zawartych w jednej płaszczyźnie zachodzi równość
![\[<br />
S_aS_bS_cS_aS_bS_cS_bS_cS_aS_bS_cS_a = S_bS_cS_aS_bS_cS_aS_aS_bS_cS_aS_bS_c<br />
\]](/files/tex/db61017a13fa8ee03c48b8caf108444e502a5703.png) |
Jak wiadomo, każda izometria płaszczyzny będąca złożeniem nieparzystej liczby symetrii osiowych jest symetrią z poślizgiem. Jeżeli 
jest symetrią z poślizgiem, to 
jest przesunięciem.
Wobec tego izometrie
![\[<br />
T = S_aS_bS_c \cdot S_aS_bS_c \ \textrm{oraz} \ U = S_bS_cS_a \cdot S_bS_cS_a<br />
\]](/files/tex/0df98edada7c42703781b43779d61d4229d0f2f4.png) |
są przesunięciami. Złożenie dwóch przesunięć nie zależy od ich kolejności: 
. Jest to właśnie równość, którą mieliśmy udowodnić.