LVIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Zadanie 1.

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ układ równań

$ \begin{cases} x^2+2yz+5x=2 \\ y^2+2zx+5y=2 \\ z^2+2xy+5z=2 \\ \end{cases} $

Rozwiązanie

Odejmując drugie równanie układu od pierwszego dostajemy

$ \begin{split} 0 &= x^2+2yz+5x-y^2-2zx-5y=(x^2-y^2)+2z(y-x)+5(x-y)= \\ &=(x-y)(x+y-2z+5). \\ \end{split} $

Podobnie odejmując trzecie równanie od pierwszego uzyskujemy równanie $0=(x-z)(x+z-2y+5)$ . Zatem dany w treści zadania układ równań jest równoważny układowi

$ (1) \qquad \begin{cases} x^2+2yz+5x=2 \\ (x-y)(x+y-2z+5)=0 \\ (x-z)(x+z-2y+5)=0 \\ \end{cases} $

Iloczyn dwóch liczb jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Wobec tego układ (1) jest równoważny następującej alternatywie czterech układów:

$ (2) \qquad \begin{cases} x^2+2yz+5x=2 \\ x-y=0 \\ x-z=0 \end{cases} \quad\hbox{lub}\quad \begin{cases} x^2+2yz+5x=2 \\ x-y=0 \\ x+z-2y+5=0 \end{cases} \quad\hbox{lub} $

$ \begin{cases}x^2+2yz+5x=2 \\ x+y-2z+5=0 \\ x-z=0 \end{cases} \quad\hbox{lub}\quad \begin{cases} x^2+2yz+5x=2 \\ x+y-2z+5=0 \\ x+z-2y+5=0. \end{cases} $

W pierwszym z układów (2) drugie i trzecie równanie prowadzą do wniosku, że $x=y=z$ . Wykorzystując tę zależność w pierwszym równaniu tego układu otrzymujemy równanie kwadratowe $3x^2+5x=2$ , które ma dwa rozwiązania: $x=-2$ oraz $x={1\over 3}$ . Zatem rozważany układ równań ma dwa rozwiązania: $(-2,-2,-2)$ i $({1\over 3},{1\over 3},{1\over 3})$ .

Zbadajmy teraz drugi z układów (2). Drugie równanie tego układu oznacza, że $x=y$ ; łącząc to z trzecim równaniem widzimy, że $z=-x+2y-5=x-5$ . Zatem pierwsze równanie układu przyjmuje postać

$2=x^2+2yz+5x=x^2+2x(x-5)+5x=3x^2-5x.$

Równanie kwadratowe $3x^2-5x=2$ ma rozwiązania $x=2$ oraz $x=-{1\over 3}$ . To daje dwa rozwiązania badanego układu: $(2,2,-3)$ i $(-{1\over 3},-{1\over 3},-{16\over 3})$ .

Podobnie rozwiązujemy trzeci z układów (2), otrzymując rozwiązania $(2,-3,2)$ oraz $(-{1\over 3},-{16\over 3},-{1\over 3})$ .

Przejdźmy wreszcie do ostatniego z układów (2). Łącząc drugie i trzecie równanie widzimy, że $y-2z=z-2y$ , czyli $y=z$ . Wobec tego drugie równanie przybiera postać $y=x+5$ , zaś pierwsze możemy zapisać jako

$2=x^2+2yz+5x=(y-5)^2+2y^2+5(y-5)=3y^2-5y,$

co po rozwiązaniu równania kwadratowego daje $y=2$ i $y=-{1\over 3}$ . W efekcie dostajemy dwa rozwiązania: $(-3,2,2)$ oraz $(-{16\over 3},-{1\over 3},-{1\over 3})$ .

Pozostaje na koniec przekonać się, że każda z wyznaczonych $8$ trójek istotnie stanowi rozwiązanie danego w zadaniu układu równań.

Odpowiedź: Rozwiązaniami $(x, y, z)$ danego układu równań są:

$ \begin{split} (-2,-2,-2),\quad (2,2,-3), \quad (2,-3, 2), \quad (-3,2,2), \\ (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}), \quad (-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{16}{3}), \quad (-\frac{1}{3},-\frac{16}{3},-\frac{1}{3}), \quad (-\frac{16}{3}, -\frac{1}{3} ,-\frac{1}{3}). \end{split} $