XXX OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

Na boku $\overline{DC}$ prostokąta $ABCD$ , w którym $\frac{AB}{AD} = \sqrt{2}$ zbudowano zewnętrznie półokrąg. Dowolny punkt $M$ półokręgu połączono odcinkami z $A$ i $B$ otrzymując na $\oveline{DC}$ odpowiednio punkty $K$ i $L$ . Dowieść, że $DL^2 + KC^2 = AB^2$ .

Rozwiązanie

Niech $S$ i $T$ będą punktami przecięcia prostej $AB$ z prostymi $MD$ i $MC$ odpowiednio (rys. 14). Obierzmy taki punkt $P \in AB$ , że $DP || CT$ . Wtedy $\measuredangle SDP = \measuredangle DMC = \frac{\pi}{2}$ jako kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy. Mamy oczywiście $AP = BT$ i wobec tego

$ (2) \qquad SA \cdot BT = SA \cdot AP = DA^2 = \frac{1}{2} AB^2. $

Na mocy twierdzenia Talesa przy pewnej jednokładności o środku w punkcie $M$ punkty $D$ , $K$ , $L$ , $C$ przechodzą odpowiednio na punkty $S$ , $A$ , $B$ , $T$ . Zatem