XXX OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie danym czworościanem, a punkty $P$ i $Q$ odpowiednio - środkami kół wpisanych w ściany $ABC$ i $ABD$ (rys. 15).

Niech $R'$ i $R''$ odpowiednio będą punktami przecięcia prostej $AB$ z prostymi $CP$ i $DQ$ . Ponieważ środek koła wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych jego kątów, więc $\overline{CR'}$ jest dwusieczną kąta $\measuredangle ACB$ , a $\overline{DR''}$ jest dwusieczną kąta $\measuredangle ADB$ . Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków. Wobec tego

$<br /> \frac{AR'}{BR'} = \frac{AC}{BC} \ \textrm{i} \ \frac{AR''}{BR''} = \frac{AD}{BD}<br />$

Zatem $R' = R''$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}$ .

Proste $DP$ i $CQ$ mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $C$ , $D$ , $P$ , $Q$ należą do jednej płaszczyzny, to znaczy, gdy proste $CP$ i $DQ$ mają punkt wspólny, a więc, gdy $R' = R''$ .

Dowiedliśmy więc, że proste $m_C$ i $m_D$ łączące wierzchołki $C$ i $D$ odpowiednio ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $AC \cdot BD = BC \cdot AD$ .

Analogicznie dowodzimy, że podobne proste $m_B$ i $m_C$ poprowadzone z wierzchołków $B$ i $C$ odpowiednio mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $AB \cdot DC = DB \cdot AC$ ; również proste $m_A$ i $m_E$ mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $AC \cdot BD = BC \cdot AD$ itd.

Jeżeli więc proste $m_A$ , $m_B$ , $m_C$ , $m_D$ mają punkt wspólny, to

$<br /> (1) \qquad AC \cdot BD = BC \cdot AD = AB \cdot DC.<br />$

Na odwrót, jeżeli zachodzą równości (1), to każda para prostych spośród $m_A$ , $m_B$ , $m_C$ , $m_D$ ma punkt wspólny. Gdyby na przykład punkty przecięcia prostej $m_C$ z prostymi $m_A$ i $m_B$ były różne, to prosta $m_C$ byłaby zawarta w płaszczyźnie wyznaczonej przez przecinające się proste $m_A$ i $m_B$ . Jest to niemożliwe, ponieważ płaszczyzna zawierająca punkty $A$ , $B$ i $C$ nie zawiera żadnej z tych prostych. Zatem prosta $m_C$ przecina każdą z prostych $m_A$ , $m_B$ , $m_D$ w tym samym punkcie. Wszystkie te cztery proste mają więc punkt wspólny.