Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Doświadczenie polega na wykonaniu $n$ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $i$ -tej próbie wynosi $p_i$ . Niech $r_k$ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $k$ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

$<br /> \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k.<br />$

Rozwiązanie

Niech $\{1,2, \ldots,n\} = A_k \cup B_k$ , gdzie $A_k = \{i_1, i_2, \ldots, i_k \}$ i $B_k = \{i_{k+1}, i_{k+2}, \ldots, i_n \}$ , będzie rozkładem zbioru $\{1, 2, \ldots, n \}$ na sumę zbioru $k$ -elementowego i $(n-k)$ -elementowego.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że próby o numerach $i_1, i_2, \ldots,i_k$ dały wynik pozytywny, a pozostałe próby - wynik negatywny, jest równe

$<br /> p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k} (1 - p_{i_{k+1}}) (1-p_{i_{k+2}}) \ldots (1-p_{i_n}).<br />$

Wobec tego

$<br /> (1) \qquad r_k = \sum_{A_k} p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k} (1 -p_{i_{k+1}})(1 - p_{i_{k+2}}) \ldots (1 - p_{i_n}),<br />$

gdzie sumowanie jest ze względu na wszystkie podzbiory $k$ -elementowe $A_k = \{ i_1, i_2, \ldots, i_k\}$ zbioru $\{1, 2, \ldots, n\}$ .

Rozpatrzmy wielomian

$<br /> (2) \qquad w(x) = (p_1x + (1-p_1))(p_2x + (1-p_2)) \ldots (p_nx + (1-p_n)).<br />$

Wymnażając zewnętrzne nawiasy na mocy (1) otrzymujemy

$<br /> (3) \qquad w(x) = r_nx^n + r_{n-1} x^{n-1} + \ldots + r_1x + r_0.<br />$

Dbliczamy pochodną wielomianu w korzystając ze wzoru (2):

$<br /> w'(x)= \sum_{i=1}^n \frac{p_iw(x)}{p_ix + (1-p_i)}.<br />$

Wobec tego $w' (1) = \sum_{i=1}^n p_i$ , ponieważ $w(1) = 1$ na mocy (2).

Z drugiej strony obliczamy pochodną wielomianu w korzystając ze wzoru (3):

$<br /> w' (x) = nr_nx^{n-1} + (n - 1)r_{n-1}x^{n-2} + \ldots + 2r_2x + r_1,<br />$

i stąd

$<br /> w'(1) = \sum_{k=1}^n kr_k.<br />$

Porównując otrzymane wartości na $w'$ (1) otrzymujemy tezę zadania.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/983