XXX OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Dane są liczby rzeczywiste $A > 1$ i $B > 1$ oraz ciąg $(x_n)$ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $(y_n)$ liczb z przedziału $[1, A]$ , że

$ \frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots . $

Rozwiązanie

Nierówność podana w zadaniu jest równoważna następującej

$ (1) \qquad \frac{x_m}{y_m} \leq B \cdot \frac{x_n}{y_n} \ \textrm{dla}\ m, n = 1, 2, \ldots . $

Zauważmy, że jeżeli

$ (2) \qquad 1 \leq \frac{x_k}{y_k} \leq B \ \textrm{dla}\ k = 1, 2, \ldots , $

to będzie spełniona nierówność (1). Istotnie, z (2) wynika, że

$ \frac{x_m}{y_m} \leq B = B \cdot 1 \leq B \cdot \frac{x_n}{y_n} \ \textrm{dla}\ m, n = 1, 2, \ldots . $

Dla rozwiązania zadania wystarczy więc znaleźć taki ciąg $(y_k)$ , by $1 \leq y_k \leq A$ oraz, by był spełniony warunek (2), tzn. $\frac{x_k}{B} \leq y_k \leq x_k$ . Istnieje liczba $y_k$ spełniająca oba te warunki, ponieważ $1 \leq x_k$ oraz $\frac{x_k}{B} \leq A$ na mocy warunków zadania.