XXX OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

Rozwiązanie

Niech $ABC$ będzie trójkątem wpisanym w koło i niech $B'$ będzie środkiem łuku $\widehat{ABC}$ (rys. 16).

Udowodnimy, że $AB \cdot BC \leq AB' \cdot B'C$ .

Pole $S_{ABC}$ trójkąta $ABC$ jest nie większe od pola $S_{AB'C}$ trójkąta $AB'C$ ponieważ odległość punktu $B$ od prostej $AC$ jest nie większa od odległości punktu $B'$ od tej prostej. Kąty $\measuredangle ABC$ i $\measuredangle AB'C$ mają równe miary, ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Przyjmijmy $\measuredangle ABC = \varphi$ . Mamy więc

$ S_{ABC}= \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \varphi,\ S_{AB'C} = \frac{1}{2} AB' \cdot B'C \sin \varphi. $

Wobec tego $AB \cdot BC \leq AB' \cdot B'C$ .

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Niech $ABCD$ będzie czworokątem wpisanym w koło o promieniu długości $1$ . Niech $B'$ i $D'$ będą odpowiednio środkami łuków $\widehat{ABC}$ i $\widehat{ADC}$ . Wtedy $\overline{B'D}$ jest średnicą danego koła prostopadłą do cięciwy $\overline{AC}$ .

Na mocy początkowej uwagi mamy

$ (1) \qquad AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \leq AB' \cdot B'C \cdot CD' \cdot D'A. $

Z kolei niech $A'$ i $C'$ będą odpowiednio środkami łuków $\widehat{B'AD}$
oraz $\widehat{B'CD'}$ . Wtedy $\overline{A'C'}$ jest średnicą danego koła prostopadłą średnicy $\overline{B'D'}$ . Na mocy początkowej uwagi mamy

$ (2) \qquad D'A \cdot AB' \cdot B'C \cdot CD' \leq D'A' \cdot A'B' \cdot B'C' \cdot C'D'. $

Ponieważ przekątne $\overline{A'C'}$ i $\overline{B'D'}$ czworokąta $A'B'C'D'$ są prostopadłe i równe, więc jest on kwadratem. Kwadrat wpisany w koło o promieniu długości $1$ ma bok długości $\sqrt{2}$ Zatem $A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = \sqrt{2}$ . Z (1) i (2) wynika więc, że

$ AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \leq (\sqrt{2})^4 = 4. $