XXX OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXX OM, 1978-1979

Etap:

III

Wielomian $w$ stopnia $n$ ( $n>1$ ) ma $n$ różnych pierwiastków Wnczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ . Udowodnić, że

$ \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0. $

Rozwiązanie

Z założenia wynika, że

$ (1) \qquad w(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \ldots (x-x_n),\ \textrm{gdzie} \ a \ne 0. $

Dla $i = 1, 2, \ldots, n$ niech $w_i(x)$ będzie wielomianem $\displaystyle \frac{w(x)}{x-x_i}$ , to znaczy wielomianem powstającym z $w(x)$ przez wykreślenie czynnika $x - x_i$ w przedstawieniu (1).

Ponieważ liczby $x_1, x_2, \ldots,x_n$ są różne, więc $w_i(x_i) \ne 0$
dla $i=1,2,\ldots, n$ oraz oczywiście $w_i(x_j) = 0$ dla $i \ne j$ .

Obliczając pochodną wielomianu $w(x)$ otrzymujemy

$ w'(x) = w_1(x) + w_2(x) + \ldots + w_n(x). $

Wobec tego $w'(x_i) = w_i(x_i)$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ .

Rozpatrzmy wielomian

$ (2) \qquad F(x)= \frac{w_1(x)}{w'(x_1)} + \frac{w_2(x)}{w'(x_2)} + \ldots \frac{w_n(x)}{w'(x_n)} - 1. $

Stopień wielomianu $F$ nie przekracza $n-1$ , ponieważ każdy z wielomianów $w_1, w_2,\ldots,w_n$ ma stopień $n-1$ . Mamy też dla $i = 1,2, \ldots, n$

$ F(x_i) = \sum_{j=1}^{n} \frac{w_j(x_i)}{w'(x_j)} - 1= \frac{w_i(x_i)}{w'(x_i)} - 1=0. $

Wielomian $F$ ma więc co najmniej $n$ pierwiastków. Liczba pierwiastków wielomianu niezerowego nie przekracza jego stopnia. Wobec tego $F$ jest wielomianem zerowym. W szczególności współczynnik przy $x^{n-1}$ w wielomianie $F$ jest równy zeru.