LVIII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $k$ , $m$ , dla których każda z liczb ${k^2+4m}$ , ${m^2+5k}$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Sposób I

Przypuśćmy, że para $(k,m)$ spełnia warunki zadania.

Jeżeli prawdziwa jest nierówność $m\geq k$ , to

$(m+3)^2=m^2+6m+9>m^2+5m\geq m^2+5k>m^2,$

a ponieważ $m^2+5k$ jest kwadratem liczby całkowitej, więc wynika stąd, że musi zachodzić jedna z równości $m^2+5k=(m+1)^2$ lub $m^2+5k=(m+2)^2$ .

Jeżeli $m^2+5k=(m+1)^2=m^2+2m+1$ , to $2m=5k-1$ i na mocy warunków zadania liczba $k^2+4m=k^2+2(5k-1)=k^2+10k-2$ ma być kwadratem liczby całkowitej. Mamy $k^2+10k-2< k^2+10k+25=(k+5)^2$ , zatem spełniona jest zależność

$ k^2+10k-2\leq (k+4)^2=k^2+8k+16, $

z której otrzymujemy $2k\leq 18$ i $k\le 9$ . Uwzględniając równość $2m=5k-1$ widzimy, że $k$ musi być liczbą nieparzystą. Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że wartości wyrażenia $k^2+10k-2$ dla $k=1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ są odpowiednio równe 9, 37, 73, 117, 169. Uzyskujemy kwadraty liczb całkowitych jedynie dla $k=1$ i $k=9$ ; odpowiadające wartości $m={1\over 2}(5k-1)$ wynoszą 2 i 22.

Jeżeli $m^2+5k=(m+2)^2=m^2+4m+4$ , to $4m=5k-4$ , zatem liczba $k^2+4m=k^2+5k-4$ jest kwadratem liczby całkowitej. Nierówność

$ k^2+5k-4<k^2+6k+9=(k+3)^2 $

dowodzi, że $k^2+5k-4\leq (k+2)^2=k^2+4k+4$ , co daje $k\le 8$ . Ponadto liczba $m={5\over 4}k-1$ jest całkowita, więc liczba $k$ jest podzielna przez $4$ . Wyrażenie $k^2+5k-4$ dla wartości $k=4$ , $8$ przyjmuje odpowiednio wartości 32, 100 i tylko dla $k=8$ otrzymujemy kwadrat liczby całkowitej; odpowiadającą wartością $m={5\over 4}k-1$ jest 9.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek $m<k$ . Wówczas możemy napisać

$ (k+2)^2=k^2+4k+4>k^2+4k>k^2+4m>k^2 $

i z uwagi na to, że $k^2+4m$ jest kwadratem liczby całkowitej, uzyskujemy zależność $k^2+4m=(k+1)^2=k^2+2k+1$ , czyli $2k=4m-1$ . Ta równość nie może jednak być prawdziwa, bowiem jej lewa strona jest liczbą parzystą, a prawa - nieparzystą. Wobec tego w tym przypadku nie ma rozwiązań.

Wystarczy już tylko wykonać bezpośrednie sprawdzenie, że otrzymane trzy pary istotnie spełniają warunki zadania.

Sposób II

Jeżeli para $(k,m)$ spełnia warunki zadania, to liczba $k^2+4m$ jest kwadratem liczby całkowitej większej od $k$ i tej samej parzystości, co liczba $k$ . Możliwe są zatem następujące trzy przypadki:

$k^2+4m=(k+2)^2$ .
$k^2+4m=(k+4)^2$ .
$k^2+4m\ge(k+6)^2$ .

Rozpatrzmy po kolei powyższe trzy możliwości:

Przypadek 1.
Równość $k^2+4m=(k+2)^2$ oznacza, że $m=k+1$ . Ponadto liczba $m^2+5k=(k+1)^2+5k=k^2+7k+1$ jest, na mocy warunków zadania, kwadratem liczby całkowitej. Z nierówności

$ (k+1)^2<(k+1)^2+5k=k^2+7k+1<k^2+8k+16=(k+4)^2 $

wynika, że $k^2+7k+1=(k+2)^2$ albo $k^2+7k+1=(k+3)^2$ . Pierwsze z tych równań ma postać $7k+1=4k+4$ , skąd $k=1$ i $m=2$ , zaś drugie równanie możemy przekształcić do postaci $7k+1=6k+9$ , co daje $k=8$ i $m=9$ .
Przypadek 2.
W tej sytuacji ma miejsce równość $m=2k+4$ . Jeżeli więc liczba $m^2+5k=(2k+4)^2+5k=4k^2+21k+16$ jest kwadratem liczby całkowitej, to z uwagi na nierówności

$ (2k+4)^2<(2k+4)^2+5k=4k^2+21k+16<4k^2+24+36=(2k+6)^2 $

stwierdzamy, że $4k^2+21k+16=(2k+5)^2$ , czyli $21k+16=20k+25$ . Zatem $k=9$ i $m=2\cdot 9+4=22$ .
Przypadek 3.
Mamy wówczas $4m\ge(k+6)^2-k^2=12k+36$ . Z drugiej strony, zgodnie z założeniami zadania liczba $m^2+5k$ jest kwadratem liczby całkowitej i wobec tego $m^2+5k\ge(m+1)^2$ , czyli $5k\ge 2m+1$ . Stąd uzyskujemy

$ 4m\ge 12k+36>10k=2\cdot 5k\ge 2(2m+1)=4m+2>4m. $

Otrzymana sprzeczność wskazuje, że w przypadku 3. nie ma rozwiązań i pozostaje jeszcze tylko upewnić się, że trzy pary wyznaczone w przypadkach 1. i 2. istotnie są rozwiązaniami zadania.

Odpowiedź: Żądaną własność mają następujące pary $(k,m)$ :

$ (1,2),\quad (8,9),\quad (9,22). $