XXIX OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Ciąg liczb $(p_n)$ określony jest następująco: $p_1 = 2$ , $p_n$ jest największym dzielnikiem pierwszym sumy $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$ . Dowieść, że w ciągu $(p_n)$ nie wystąpi liczba 5.

Rozwiązanie

Mamy $p_1 = 2$ oraz $p_2 = 3$ , ponieważ $p_2$ jest największym dzielnikiem pierwszym liczby $p_1+ 1=3$ . Wobec tego dla $n > 2$ liczba $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1 = 6p_3 \ldots p_n +1$ nie jest podzielna ani przez $2$ , ani przez $3$ . Gdyby więc dla pewnej liczby naturalnej $n$ największy dzielnik pierwszy liczby $p_1p_2 \ldots p_{n-1} + 1$ był równy $5$ , to byłby to jej jedyny dzielnik pierwszy, tzn. byłaby ona równa $5^r$ dla pewnego $r \geq 1$ . Zatem

$<br /> (1) \qquad 6p_3 \ldots p_{n-1} = 5^r-1.<br />$

Liczba $5^r - 1$ jest podzielna przez liczbę $5-1=4$ . Wobec tego z (1) wynika, że $p_k = 2$ dla pewnego $k \geq 3$ . Jest to niemożliwe, ponieważ liczba $p_k$ na mocy określenia jest dzielnikiem liczby $p_1p_2 \ldots p_{k-1} + 1 = 2p_2 \ldots p_{k-1} + 1$ , a ta jest nieparzysta.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że w ciągu $(p_n)$ nie wystąpi liczba 5.