XXIX OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Niech $a, b, c, d$ będą długościami boków dowolnego czworokąta. Dowieść, że istnieje trapez, którego boki mają długości $a, b, c, d$ .

Rozwiązanie

Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $a \geq b \geq c \geq d$ . Wtedy

$ (1) \qquad a + b \geq c + d \ \textrm{oraz} \ a + c \geq b + d. $

Z równości $a + b = c + d$ wynika, że $(a - d) + (b - c) = 0$ i stąd $a = b = c = d$ , a z równości $a + c = b + d$ , że $(a - b) + (c - d) = 0$ i stąd $a = b$ i $c = d$ . Jeżeli więc w co najmniej jednej z nierówności (1) zachodzi równość, to $a = b$ i $c = d$ . Wobec tego czworokąt o kolejnych bokach długości $a$ , $c$ , $b$ , $d$ jest równoległobokiem, a więc tym bardziej - trapezem.

Załóżmy z kolei, że $a + b>c + d$ oraz $a + c>b + d$ , czyli

$ (2) \qquad (a-d) + b>c \ \textrm{i} \ (a-d) + c> b. $

Ponieważ $b \geq c$ , więc wynika stąd, że $a - d > 0$ . Ponadto mamy $a < b + c + d$ , czyli

$ (3) \qquad a - d $

ponieważ w czworokącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości boków pozostałych.

Udowodniliśmy więc ((2) i (3)), że każda z liczb dodatnich $b$ , $c$ , $a - d$ jest mniejsza od sumy liczb pozostałych. Istnieje więc trójkąt o bokach długości $b$ , $c$ , $a - d$ . Umieszczając przy nim równoległobok o bokach długości $c$ i $d$ (rys. 5) otrzymamy szukany trapez.