XXIX OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Niech $Y$ będzie figurą składającą się z odcinków domkniętych $\overline{OA}$ , $\overline{OB}$ , $\overline{OC}$ , przy czym punkt O leży wewnątrz trójkąta $ABC$ . Dowieść, że w żadnym kwadracie nie można umieścić nieskończenie wielu wzajemnie rozłącznych izometrycznych obrazów figury $Y$ .

Rozwiązanie

Niech $d$ będzie najmniejszą z liczb $OA$ , $OB$ , $OC$ . Obierzmy punkty $P \in \overline{OA}$ , $Q \in \overline{OB}$ , $R \in \overline{OC}$ takie, że $OP= OQ = OR= \frac{d}{2}$ (rys. 6)

Wtedy $PQ < OP + OQ = d$ i podobnie $PR < d$ oraz $QR < d$ . Jeżeli $Y'$ jest figurą składającą się z odcinków domkniętych $\overline{O'A'}$ , $\overline{O'B'}$ i $\overline{O'C'}$ izometryczną z figurą $Y$ oraz punkt $O'$ należy do trójkąta $OPQ$ , to każdy z odcinków $\overline{O'A'}$ , $\overline{O'B'}$ i $\overline{O'C'}$ przecina obwód trójkąta $OPQ$ , ponieważ w trójkącie nie jest zawarty żaden odcinek dłuższy od najdłuższego boku trójkąta. Z warunków zadania wynika, że każdy z kątów $\measuredangle A'O'B'$ , $\measuredangle B'O'C'$ i $\measuredangle C'O'A'$ ma miarę mniejszą od $\pi$ i w sumie dają one kąt pełny. Wobec tego co najmniej jeden z odcinków $\overline{O'A'}$ , $\overline{O'B'}$ i $\overline{O'C'}$ przecina bok $\overline{OP}$ lub $\overline{OQ}$ . Figury $Y$ i $Y'$ nie są więc rozłączne.

Analogicznie dowodzimy, że jeżeli punkt $O'$ należy do trójkąta $OPR$ lub $OQR$ , to figury $Y$ i $Y'$ nie są rozłączne. Jeżeli więc figury $Y$ i $Y'$ są rozłączne, to punkt $O'$ nie należy do trójkąta $PQR$ . Niech $r$ będzie długością promienia pewnego koła o środku w punkcie $O$ zawartego w trójkącie $PQR$ . Z powyższego wynika, że jeżeli figury $Y$ i $Y'$ są rozłączne, to punkty $O$ i $O'$ są odległe więcej niż o $r$ .

Rozpatrzmy teraz kwadrat $K$ o boku długości $a$ . Obierzmy liczbę naturalną $n$ większą od $\displaystyle \frac{a}{r} \sqrt{2}$ i podzielmy kwadrat $K$ prostymi równoległymi do boków na $n^2$ małych kwadratów. Długość boku takiego małego kwadratu jest więc równa $\displaystyle \frac{a}{n}$ , a długość jego przekątnej $\displaystyle \frac{a}{n} \sqrt{2}$ . Ponieważ $n > \frac{a}{r} \sqrt{2}$ , więc $\frac{a}{n} \sqrt{2} < r$ . Odległość dowolnych dwóch punktów należących do kwadratu nie przekracza długości jego przekątnej. Wobec tego odległość dowolnych dwóch punktów należących do małego kwadratu jest mniejsza od $r$ . Z początkowej części rozwiązania wynika więc, że jeżeli $f_1$ i $f_2$ są izometriami figury $Y$ w kwadrat $K$ oraz figury $f_1(Y)$ i $f_2(Y)$ są rozłączne, to punkty $f_1(0)$ i $f_2(0)$ są odległe więcej niż o $r$ . Punkty te nie należą więc do jednego małego kwadratu. Zatem w kwadracie $K$ można umieścić co najwyżej $n^2$ wzajemnie rozłącznych obrazów izometrycznych figury $Y$ .