XXIX OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Dla jakich liczb naturalnych $n$ istnieją niezerowe wielomiany
$f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ , $g(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ o współczynnikach całkowitych spełniające równość

$ \left(\sum_{i=1}{n} x_i\right)\cdot f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) = g(x_1^2,x_2^2, \ldots ,x_n^2) ? $

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw prosty

Lemat. Jeżeli wielomian $W(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ nie ulega zmianie, gdy na miejsce zmiennej $x_i$ podstawimy w nim $(-x_i)$ , to zmienna ta występuje w nim tylko z wykładnikami parzystymi; to znaczy istnieje taki wielomian $V(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ , że $W(x_1, x_2, \ldots , x_i, \ldots , x_n) = V (x_1, x_2, \ldots, x_i^2, \ldots, x_n)$ .

Dowód. Dany wielomian jest sumą jednomianów postaci $a x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_n^{a_n}$ , gdzie $a \ne 0$ . Z założenia mamy

$ a x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_i^{a_i} \ldots x_n^{a_n} = a x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots (-x_i)^{a_i} \ldots x_n^{a_n}. $

Wobec tego $(-1)^{a_i} = 1$ , czyli liczba $a_1$ jest parzysta. Zatem w każdym jednomianie wielomianu $W(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ zmienna $x_i$ występuje z wykładnikiem parzystym. Wynika stąd teza lematu.

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieją wielomiany $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ i $g(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ spełniające warunki zadania.

Rozpatrzmy wielomian $F(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ będący iloczynem wszystkich wielomianów postaci $c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n$ , gdzie współczynniki $c_1, c_2, \ldots, c_n$ przybierają wartości $1$ i $-1$ . Wielomian $F(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ ma więc współczynniki całkowite i jeżeli w nim na miejsce dowolnej zmiennej $x_i$ podstawimy $(-x_i)$ , to oczywiście otrzymamy znów wielomian $F(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ . Wobec tego na mocy lematu w wielomianie $F(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ każda zmienna występuje tylko z wykładnikami parzystymi, to znaczy istnieje taki wielomian o współczynnikach całkowitych $g(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ , że $F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots, x^2_n)$ . Jednym z czynników wielomianu $F(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ jest z określenia $x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ , a iloczyn pozostałych czynników jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Oznaczając ten iloczyn przez $f(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ otrzymujemy $(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \cdot f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = F(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = = g(x_1^2, x_2^2, \ldots ,x_n^2) \ne 0$ .

Zachodzi więc teza zadania.

Uwaga 1. Można opisać wszystkie wielomiany $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ i $g(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ spełniające warunki zadania.

Przypuśćmy najpierw, że $n > 1$ i wielomiany $f(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ i $g(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ spełniają warunki zadania. Zachodzi więc równość (1). Podstawiając w niej na miejsce zmiennej $x_i$ jednomian $c_ix_i$ , gdzie $c_i = 1$ lub $-1$ oraz $i = 2, 3, \ldots , n$ stwierdzamy, że wielomian $g (x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2)$ jest podzielny przez każdy z wielomianów

$ (3) \qquad x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n, \ \textrm{gdzie}\ c_i=1 \ \textrm{lub} \ -1. $

Ponieważ wielomiany (3) są parami względnie pierwsze, więc wielomian $g(x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2)$ jest również podzielny przez ich iloczyn

$ (4) \qquad h(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{c_i = \pm 1} (x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n). $

Iloczyn ten zawiera $2^{n-1}$ czynników, ponieważ tyle jest układów $(c_2, c_3, \ldots , c_n)$ , gdzie $c_i = 1$ lub $-1$ . Zmiana znaku jednej ze zmiennych $x_2,x_3, \ldots , x_n$ nie zmienia oczywiście wielomianu $h(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ . Na mocy lematu więc każda z tych zmiennych występuje w wielomianie $h(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tylko z wykładnikami parzystymi.

Jeżeli $n > 1$ , to również zmienna $x_1$ występuje w wielomianie $h(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ tylko z wykładnikami parzystymi, ponieważ

$ \begin{split} h(-x_1, x_2, \ldots, x_n)&= \prod_{c_i = \pm 1} (-x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n) = \\ & = (-1)^{2^{n-1}} \prod_{c_i = \pm 1} (x_1 - c_2x_2 - \ldots - c_nx_n) =\\ &= h(x_1, -x_2, \ldots, -x_n) = h(x_1, x_2, \ldots, x_n). \end{split} $

Istnieje więc taki wielomian niezerowy o współczynnikach całkowitych $g_0(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ , że

$ (5) \qquad h(x_1, x_2, \ldots , x_n) = g_0 (x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2). $

Na mocy (4) jednym z czynników wielomianu $h(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ jest $x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ . Oznaczając iloczyn pozostałych czynników przez $f_0 (x_1, x_2, \ldots , x_n)$ stwierdzamy na mocy (4) i (5), że

$ (6) \qquad (x_1 + x_2 + \ldots +x_n) \cdot f_0 (x_1, x_2, \ldots, x_n) = g_0 (x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2). $

Udowodniliśmy więc, że wielomiany $f_0 (x_1, x_2, \ldots , x_n)$ oraz $g_0(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ spełniają warunki zadania oraz, że jeżeli pewne wielomiany $f(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ i $g(x_1, x_2, \ldots ,x_n)$ spełniają warunki zadania, to wielomian $g(x_1, x_2, \ldots,x_n)$ jest podzielny przez $g_0(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ . Mamy więc

$ (7) \qquad g (x_1, x_2, \ldots, x_n) = g_0 (x_1, x_2, \ldots , x_n) \cdot g_1 (x_1, x_2, \ldots, x_n), $

gdzie $g_1 (x_1, x_2, \ldots , x_n)$ jest pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych.

Z (1), (6) i (7) wynika, że

$ (8) \qquad f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_0 (x_1, x_2, \ldots , x_n) \cdot g_1(x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2). $

Na odwrót, jeżeli $g_1(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ jest dowolnym wielomianem niezerowym o współczynnikach całkowitych, to wielomiany $f(x_1, x_2, \ldots ,x_n)$ i $g(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ określone wzorami (7) i (8) na mocy (6) spełniają warunki zadania.

W przypadku $n > 1$ wzory (7) i (8) opisują więc wszystkie wielomiany spełniające warunki zadania. W przypadku $n = 1$ oczywiście wszystkie wielomiany $f(x_1)$ i $g(x_1)$ spełniające warunki zadania są postaci $f(x_1) = x_1 g_1 (x_1^2)$ , $g(x_1) = x_1g_1(x_1)$ , gdzie $g_1(x_1)$ jest dowolnym
wielomianem niezerowym o współczynnikach całkowitych.

Uwaga 2. Prawdziwe są twierdzenia ogólniejsze. Na przykład:

Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ i wielomianu niezerowego o współczynnikach całkowitych $w(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ istnieją wielomiany niezerowe o współczynnikach całkowitych $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ i $g(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ spełniające

$ w(x_1, x_2, \ldots, x_n) cdot f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots ,x_n^2). $

Twierdzenie 2. Dla dowolnych liczb naturalnych $n$ i $r$ istnieją takie wielomiany niezerowe o współczynnikach całkowitych $f(x_1, x_2, \ldots , x_n)$ i $g(x_1, x_2, \ldots ,x_n)$ , że

$ (x_1 + x_2+ \ldots + x_n) \cdot f(x_1, x_2, \ldots ,x_n)= g(x_1^r, x_2^r, \ldots, x_n^r). $

Dowód pierwszego z tych twierdzeń przebiega podobnie do rozwiązania zadania, szczegółowe jego przeprowadzenie pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie. Dowód drugiego twierdzenia można przeprowadzić używając liczb zespolonych.