XXIX OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

Dowieść, że na płaszczyźnie dowolna łamana zamknięta o długości 1 zawiera się w pewnym kole o promieniu długości $\frac{1}{4}$

Rozwiązanie

Niech punkty $A$ i $B$ należące do łamanej zamkniętej długości $1$ dzielą tę łamaną na dwie części równej długości i niech $C$ będzie dowolnym punktem tej łamanej. Ponieważ odcinek jest najkrótszą łamaną łączącą dwa punkty, więc $AC + BC \leq \frac{1}{2}$ .

Niech $P$ będzie środkiem odcinka $\overline{AB}$ , $C'$ - punktem symetrycznym do $C$ względem punktu $P$ (rys. 7). Wtedy $CP = C'P$ i $BC= AC'$ . Wobec tego

$<br /> 2CP = CC' \leq AC + AC' = AC + BC \leq \frac{1}{2}<br />$

i stąd $CP \leq \frac{1}{4}$ .

Udowodniliśmy więc, że dowolny punkt $C$ danej łamanej jest odległy od punktu $P$ nie więcej niż o $\frac{1}{4}$ . Wobec tego ta łamana jest zawarta w kole o środku $P$ i promieniu długości $\frac{1}{4}$ .

Uwaga. Analogiczne zadanie było podane na zawodach VII Olimpiady Matematycznej jako zadanie 23 (5).