Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXIX OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXIX OM, 1977-1978

Etap:

I

Niech $(a_n)$ będzie takim ciągiem niemalejącym liczb naturalnych, że ciąg $\left(\frac{n}{a_n}\right)$ jest nieograniczony. Udowodnić, że wśród wyrazów ciągu $\left(\frac{n}{a_n}\right)$ jest nieskończenie wiele liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Pierwszy wyraz ciągu $\binom{n}{a_n}$ jest nie większy od $1$ , ponieważ $a_1 \geq 1$ . Ciąg ten jest nieograniczony i wobec tego dla każdej liczby naturalnej $m$ istnieje taka liczba naturalna $r$ , że

$<br /> (1) \qquad \frac{r}{a_r} \leq m < \frac{r+1}{a_{r+1}}.<br />$

Mianowicie, wystarczy $r$ tak obrać, by $\frac{r+1}{a_{r+1}}$ był najwcześniejszym wyrazem ciągu $\binom{n}{a_n}$ większym od $m$ .

Mnożąc nierówności (1) stronami przez $a_r$ i korzystając z tego, że ciąg $(a_n)$ jest niemalejący otrzymujemy:

$<br /> r \leq ma_r < (r + 1) \frac{a_r}{a_{r+1}} \leq r + 1.<br />$

Tak więc liczba naturalna $ma_r$ należy do przedziału $\langle r, r+1 \rangle$ ,
skąd wynika, że $ma_r = r$ , czyli $m = \frac{r}{a_r}$ .

Udowodniliśmy zatem, że każda liczba naturalna $m$ jest wyrazem ciągu $\binom{n}{a_n}$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/998