Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna

Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna (MOM) odbywa się od 1959 roku. W zawodach tych uczestniczą uczniowie z kilkudziesięciu państw, również z Polski. Na MOM Komitet Główny powołuje sześciu uczniów, którzy uzyskali najlepsze rezultaty na zawodach trzeciego stopnia Olimpiady Matematycznej. Zawody MOM trwają dwa dni, każdego dnia uczestnicy rozwiązują po 3 zadania, na które mają 4,5 godziny czasu. Uczniowie powołani na MOM uczestniczą w obozie przygotowawczym.

Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna

Dodaj komentarz

L MOM - Zadanie 6

Liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ są parami różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, zaś $M$ jest zbiorem $n-1$ dodatnich liczb całkowitych, przy czym $M$ nie zawiera liczby $s=a_1+a_2+\dots+a_n$ . Konik polny skacze wzdłuż osi liczbowej w dodatnim jej kierunku. Zaczyna w punkcie 0 i wykonuje $n$ skoków, których długościami są liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ , wzięte w pewnej kolejności. Udowodnić, że kolejność tę można wybrać w taki sposób, by po żadnym ze skoków konik polny nie wylądował w punkcie należącym do zbioru $M$ .

L MOM - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ przekształcające zbiór dodatnich liczb całkowitych w zbiór dodatnich liczb całkowitych takie, że dla każdych dwóch dodatnich liczb całkowitych $a$ oraz $b$ istnieje niezdegenerowany trójkąt, którego boki mają długości

$ a,\quad f(b)\quad\text{oraz}\quad f(b+f(a)-1). $

(Trójkąt niezdegenerowany to taki, którego wierzchołki nie leżą na jednej prostej.)

L MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ABC$ zachodzi równość $AB=AC$ . Dwusieczne kątów $CAB$ oraz $ABC$ przecinają jego boki $BC$ oraz $AC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Punkt $K$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$ . Załóżmy ponadto, że $\measuredangle BEK=45^\circ$ . Wyznaczyć możliwe wartości $\measuredangle CAB$ .

L MOM - Zadanie 3

Ściśle rosnący ciąg $s_1,s_2,s_3,\dots$ , którego wyrazy są dodatnimi liczbami całkowitymi, ma tę własność, że jego podciągi

$ s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\dots\qquad\text{oraz}\qquad s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\dots $

są ciągami arytmetycznymi. Dowieść, że ciąg $s_1,s_2,s_3,\dots$ również jest ciągiem arytmetycznym.

L MOM - Zadanie 2

Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Punkty $P$ oraz $Q$ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $CA$ oraz $AB$ . Niech $K$ , $L$ oraz $M$ będą odpowiednio środkami odcinków $BP$ , $CQ$ oraz $PQ$ . Niech ponadto $\Gamma$ będzie okręgiem przechodzącym przez punkty $K$ , $L$ oraz $M$ . Załóżmy, że prosta $PQ$ jest styczna do okręgu $\Gamma$ . Wykazać, że $OP=OQ$ .

L MOM - Zadanie 1

Dana jest dodatnia liczba całkowita $n$ oraz parami różne liczby całkowite $a_1,\dots,a_k$ ( $k\geq2$ ), będące elementami zbioru $\{1,\dots,n\}$ . Ponadto, dla każdego $i=1,\dots,k-1$ , liczba $n$ jest dzielnikiem liczby $a_i(a_{i+1}-1)$ . Udowodnić, że $n$ nie jest dzielnikiem liczby $a_k(a_1-1)$ .

L MOM

Zadania z L Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej.

Załącznik	Wielkość
L MOM - Zadania z rozwiązaniami	196.18 KB

XLVIII MOM - Zadanie 6

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy

$ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\,x+y+z>0\} $

jako zbiór $(n+1)^3-1$ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $S$ , ale nie zawiera punktu $(0,0,0)$ .