2006-2007

XLVIII MOM - Zadanie 6

Niech $ n $ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy

\[<br /> S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\,x+y+z>0\}<br /> \]

jako zbiór $ (n+1)^3-1 $ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $ S $, ale nie zawiera punktu $ (0,0,0) $.

XLVIII MOM - Zadanie 5

Niech $ a $ oraz $ b $ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Dowieść, że jeśli liczba $ (4a^2-1)^2 $ jest podzielna przez $ 4ab-1 $, to $ a=b $.

XLVIII MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ dwusieczna kąta $ BCA $ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $ R $ różnym od $ C $, symetralną odcinka $ BC $ w punkcie $ P $ oraz symetralną odcinka $ AC $ w punkcie $ Q $. Punkt $ K $ jest środkiem odcinka $ BC $, a punkt $ L $ jest środkiem odcinka $ AC $. Wykazać, że trójkąty $ RPK $ oraz $ RQL $ mają równe pola.

XLVIII MOM - Zadanie 3

W zawodach matematycznych niektórzy uczestnicy przyjaźnią się. Przyjaźń jest zawsze wzajemna. Grupę uczestników nazwiemy kliką, jeśli każdych dwóch zawodników tej grupy przyjaźni się. (W szczególności, każda grupa złożona z mniej niż dwóch zawodników jest kliką.) Liczbę osób, jaką liczy klika nazwiemy jej rozmiarem.

Wiadomo, że w zawodach tych rozmiar największej kliki jest liczbą parzystą. Dowieść, że uczestników zawodów można rozdzielić do dwóch pokoi tak, aby rozmiar największej kliki w jednym pokoju był równy rozmiarowi największej kliki w drugim pokoju.

XLVIII MOM - Zadanie 2

Rozpatrzmy takich pięć punktów płaszczyzny $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, że czworokąt $ ABCD $ jest równoległobokiem, a na czworokącie wypukłym $ BCED $ można opisać okrąg. Niech $ \ell $ będzie prostą przechodzącą przez punkt $ A $. Przypuśćmy, że prosta $ \ell $ przecina wnętrze odcinka $ DC $ w punkcie $ F $, a prostą $ BC $ w punkcie $ G $. Niech ponadto $ EF=EG=EC $. Udowodnić, że prosta $ \ell $ jest dwusieczną kąta $ DAB $.

XLVIII MOM - Zadanie 1

Dane są liczby rzeczywiste $ a_1 $, $ a_2 $, $ \ldots $, $ a_n $. Dla każdego $ i $ ($ 1\le i\le n $) określamy

\[<br /> d_i=\max\{a_j:1\le j\le i\}-\min\{a_j:i\le j\le n\}<br /> \]

oraz

\[<br /> d=\max\{d_i:1\le i\le n\}.<br /> \]

  1. Dowieść, że dla każdych liczb rzeczywistych $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $ spełniona jest nierówność

    \[<br /> \max\{|x_i-a_i|:1\le i\le n\}\ge{d\over 2}.\leqno(*)<br /> \]

  2. Wykazać, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ x_1\le x_2\le\ldots\le x_n $, dla których nierówność $ (*) $ staje się równością.

XLVIII MOM

Zadania z XLVIII Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej

ZałącznikWielkość
XLVIII MOM - Zadania z rozwiązaniami161.93 KB

I MEMO - Zadanie 8

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $ k $, dla których istnieje taka liczba całkowita $ a $, że liczba $ (a+k)^3-a^3 $ jest podzielna przez 2007.

I MEMO - Zadanie 7

Czworościan $ T $ nazwiemy dobrym, jeżeli wszystkie długości jego krawędzi są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, z których jedna jest równa 2, a jedna 3. Oznaczmy przez $ s(T) $ sumę długości krawędzi dobrego czworościanu $ T $.

  1. Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite $ n $, dla których istnieje dobry czworościan $ T $ spełniający warunek $ s(T)=n $.

  2. Ile istnieje nieprzystających dobrych czworościanów $ T $, dla których $ s(T)=2007 $ ?

Uwaga: Nie jest konieczne dowodzenie, że rozważane czworościany są niezdegenerowane, tzn. posiadają dodatnią objętość.

I MEMO - Zadanie 6

Niech $ P $ będzie dowolnym zbiorem pięciu różnych punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Oznaczmy przez $ a(P) $ liczbę trójkątów ostrokątnych, których wierzchołki należą do zbioru $ P $. Wyznaczyć największą możliwą wartość $ a(P) $.

Subskrybuje zawartość