2005-2006

LVII OM - III - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $a$ , $b$ , dla których istnieje taki wielomian $P(x)$ o współczynnikach całkowitych, że iloczyn $(x^2 + ax + b)\cdot P(x)$ jest wielomianem postaci

$ x^n +c_{n-1}x + \dots + c_1x + c_0, $

gdzie każda z liczb $c_0,c_1,\dots ,c_{n-1}$ jest równa 1 lub -1.

Dany jest czworościan $ABCD$ , w którym $AB = CD$ . Sfera wpisana w ten czworościan jest styczna do ścian $ABC$ i $ABD$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Dowieść, że jeżeli punkty $K$ i $L$ są środkami ciężkości ścian $ABC$ i $ABD$ , to czworościan $ABCD$ jest foremny.

LVII OM - III - Zadanie 4

Na trójce liczb wykonujemy następującą operację. Wybieramy dwie spośród tych liczb i zastępujemy je ich sumą oraz ich iloczynem, pozostała liczba nie ulega zmianie. Rozstrzygnąć, czy rozpoczynając od trójki (3,4,5) i wykonując tę operację możemy ponownie uzyskać trójkę liczb będących długościami boków trójkąta prostokątnego.

LVII OM - III - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt wypukły $ABCDEF$ , w którym $AC = DF$ , $CE = FB$ oraz $EA = BD$ . Dowieść, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie.

LVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $k$ , dla których liczba $3^k+5^k$ jest potęgą liczby całkowitej o wykładniku naturalnym większym od 1.

LVII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $a, b, c, d, e$ układ równań

$ \begin{cases} a^2 &= b^3 + c^3 \\ b^2 &= c^3 + d^3 \\ c^2 &= d^3 + e^3 \\ d^2 &= e^3 + a^3 \\ e^2 &= a^3 + b^3 \\ \end{cases} $

LVII OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza $p$ oraz liczba całkowita $n$ , przy czym $p \geq n \geq 3$ . Zbiór $A$ składa się z $n$ -wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru $\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ i ma następującą własność:

Dla dowolnych dwóch ciągów $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ oraz $(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ ze zbioru $A$ istnieją takie różne liczby
$k, l, m$ , że

$ x_k\neq y_k,\quad x_l\neq y_l,\quad x_m\neq y_m. $

Wyznaczyć największą możliwą liczbę elementów zbioru $A$ .

LVII OM - II - Zadanie 5

Punkt $C$ jest środkiem odcinka $AB$ . Okrąg $o_1$ przechodzący przez punkty $A$ i $C$ przecina okrąg $o_2$ przechodzący
przez punkty $B$ i $C$ w różnych punktach $C$ i $D$ . Punkt $P$ jest środkiem tego łuku $AD$ okręgu $o_1$ , który nie zawiera
punktu $C$ . Punkt $Q$ jest środkiem tego łuku $BD$ okręgu $o_2$ , który nie zawiera punktu $C$ . Dowieść, że proste $PQ$ i $CD$
są prostopadłe.

LVII OM - II - Zadanie 4

Niech $c$ będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg $(a_n)$ jest określony przez warunki

$ a_1 =1,\;a_{n+1} = d(a_n)+c \text{ dla } n =1,2,\dots, $

gdzie $d(m)$ oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby $m$ . Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia $k$ ,
że ciąg $a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots$ jest okresowy.