Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Ciągi

VI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wzór wyrażający sumę

$ \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n} $

w zależności od $n$ .

VIII OM - I - Zadanie 2

Znaleźć wzór na sumę czwartych potęg kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ .

IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $k$ jest liczbą naturalną, to

$ (1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) = 1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną zależną od $k$ ; wyznaczyć $m$ .

IX OM - I - Zadanie 2

Obliczyć sumę

$ 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + n(n + 1) (n + 2). $

X OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie, umieszczono $n \geq 3$ odcinków w ten sposób, że każde $3$ z nich mają punkt wspólny. Dowieść, że istnieje punkt wspólny wszystkich odcinków.

X OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg liczb $13, 25, 43, \ldots$ którego $n$ -ty wyraz jest określony wzorem

$ a_n =3(n^2 + n) + 7. $

Dowieść, że ciąg ten ma następujące własności:

1° Wśród każdych pięciu kolejnych wyrazów ciągu dokładnie jeden jest podzielny przez $5$ ,

2° Żaden wyraz ciągu nie jest sześcianem liczby całkowitej.

X OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że gdy $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , to

$ \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \ldots \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{n+1}{2n}. $