Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

II OM - III - Zadanie 6

Dany jest okrąg oraz odcinek $ MN $. Znaleźć na okręgu taki punkt $ C $, żeby trójkąt $ ABC $, gdzie $ A $ i $ B $ są punktami przecięcia prostych $ MC $ i $ NC $ z okręgiem, był podobny do trójkąta $ MNC $.

II OM - III - Zadanie 5

W okrąg wpisano czworokąt $ ABCD $. Proste $ AB $ i $ CD $ przecinają się w punkcie $ E $, a proste $ AD $ i $ BC $ - w punkcie $ F $. Dwusieczna kąta $ AEC $ przecina bok $ BC $ w punkcie $ M $ i bok $ AD $ w punkcie $ N $; a dwusieczna kąta $ BFD $ przecina bok $ AB $ w punkcie $ P $ i bok $ CD $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że czworokąt $ MPNQ $ jest rombem.

II OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć współczynniki równania

\[<br /> (1) \qquad x^3 - ax^2 + bx - c = 0<br /> \]

w taki sposób, żeby pierwiastkami tego równania były liczby $ a $, $ b $, $ c $.

II OM - III - Zadanie 2

Jakie cyfry należy umieścić zamiast zer na trzecim i piątym miejscu w liczbie $ 3000003 $, aby otrzymać liczbę podzielną przez $ 13 $?

II OM - III - Zadanie 1

Belka o długości $ a $ została zawieszona poziomo swymi końcami na dwóch linach równoległych równych $ b $. Skręcamy belkę o kąt $ \varphi $ dokoła osi pionowej przechodzącej przez środek belki. O ile belka się podniesie?

II OM - II - Zadanie 6

Dane są punkty $ A $ i $ B $ oraz okrąg $ k $. Wykreślić okrąg przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $ i wyznaczający w przecięciu z okręgiem $ k $ wspólną cięciwę o danej długości $ d $.

II OM - II - Zadanie 5

Wykazać, że jeżeli między bokami i przeciwległymi kątami $ A $ i $ B $ trójkąta $ ABC $ zachodzi związek

\[<br /> (1) \qquad (a^2 + b^2) \sin (A - B) = (a^2 - b^2) \sin (A + B),<br /> \]

to taki trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.

II OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równania

\[<br /> (1) \qquad<br /> x^2 + mx + n = 0<br /> \textrm{ i }<br /> x^2 + px + q = 0<br /> \]

mają wspólny pierwiastek, to między współczynnikami tych równań zachodzi związek

\[<br /> (2) \qquad (n - q)^2 - (m - p) (np - mq) = 0.<br /> \]

II OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że równanie

\[<br /> \frac{m^2}{a-x} + \frac{n^2}{b-x} = 1,<br /> \]

gdzie $ m \ne 0 $, $ n \ne 0 $, $ a \ne b $, ma pierwiastki rzeczywiste ($ m $, $ n $, $ a $, $ b $ oznaczają liczby rzeczywiste).

Subskrybuje zawartość