Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Funkcje i ich własności

II OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli $A + B + C = 180^\circ$ , a $n$ jest liczbą nieparzystą, to

$ (1) \qquad \sin nA + \sin nB + \sin nC = 4 \cdot (- 1)^{\frac{n-1}{2}} \cos \frac{nA}{2} \cos \frac{nB}{2} \cos \frac{nC}{2}. $

Dowieść, że jeżeli $A + B + C$ lub $A + B - C$ lub $A - B + C$ lub $A - B - C$ równa się nieparzystej ilości kątów półpełnych, to $\cos^2A + \cos^2B + \cos^2C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$ i że prawdziwe jest twierdzenie odwrotne.

VII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $\gamma > 0$ i $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} \pi$ , to

$ (1) \qquad \tg \alpha \cdot \tg \beta + \tg \beta \cdot \tg \gamma + \tg \gamma \cdot \tg \alpha = 1. $

IX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunki

$ ac - bd \ne 0 \textrm{ i } (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0, $

to funkcja

$ (1) \qquad y = \frac{(ax + b) (cx + d)}{(bx + a) (dx + c)} $

przybiera wszystkie wartości rzeczywiste.

XIII OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że jeżeli

$ (1) \qquad \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C=1 $

i $A$ , $B$ , $C$ są kątami ostrymi, to

$ (2) \qquad A + B + C < 180^\circ. $

XVI OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że jeżeli dla każdej wartości $a$ zachodzi równość

$ (1) \qquad x \sin \alpha + y \sin 2 \alpha + z \sin 3 \alpha = 0,\quad \text{ to } \quad x = y = z = 0. $

XX OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , z których każde dwie są różne. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem

$ (1) \qquad y = |x-a_1| + |x-a_2| + \ldots + |x-a_n| $

XXI OM - III -Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą $A$ taką, że dla każdego trójmianu kwadratowego $f(x)$ spełniającego warunek

$ (1) \qquad |f(x)| \leq 1 \quad \text{dla}\quad 0 \leq x \leq 1 $

zachodzi nierówność $f'(0) \leq A$ .

XXII OM - I - Zadanie 6

Niech $f(x,y,z) = \max(x^2 — yz, y^2 — xz, z^2 — xy)$ . Znaleźć zbiór wartości funkcji $f(x,y,z)$ rozpatrywanej dla liczb $x,y,z$ spełniających warunki: