Liczby całkowite

II OM - III - Zadanie 2

Jakie cyfry należy umieścić zamiast zer na trzecim i piątym miejscu w liczbie $3000003$ , aby otrzymać liczbę podzielną przez $13$ ?

II OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną parzystą, to liczba $13^n + 6$ jest podzielna przez $7$ .

II OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn dwóch czynników, z których każdy jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest również sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

III OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że żadna z cyfr $2$ , $4$ , $7$ , $9$ nie może być ostatnią cyfrą liczby

$ 1 + 2 + 3 + \ldots + n, $

gdzie $n$ jest liczbą naturalną.

Niech $a$ , $b$ oznaczają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $c$ - jego przeciwprostokątną, $r$ - promień koła wpisanego, wreszcie $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ - promienie kół dopisanych tego trójkąta. Dowieść, że:

1) $r + r_a + r_b = r_c$

2) promienie $r$ , $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ wyrażają się jednocześnie liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki $a$ , $b$ , $c$ są wyrażone liczbami całkowitymi.

IV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

$ (1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1}, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną.

IV OM - II - Zadanie 1

Ułożono tablicę

$ \begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 + 3 + 4 & = & 1 + 8 \\ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 & = & 8 + 27\\ 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 & = & 27 + 64\\ & \ldots & \end{array} $

Napisać taki wzór na $n$ -ty wiersz tablicy, który by przy podstawieniach $n = 1, 2, 3, 4$ dawał powyższe cztery wiersze tablicy i był prawdziwy dla każdego naturalnego $n$ .