2001-2002

LIII OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $k$ . Określamy ciąg $(a_n)$ wzorami

$ a_{1}=k+1,\ a_{n+1}=a_{n}^{2}-ka_{n}+k\ \textrm{dla}\ n\geq 1.$

Wykazać, że jeżeli $m \ne n$ , to liczby $a_m$ i $a_n$ są względnie pierwsze.

W przestrzeni dany jest trójkąt $ABC$ oraz sfera $s$ rozłączna z płaszczyzną $ABC$ . Przez każdy z punktów $A$ , $B$ , $C$ poprowadzono prostą styczną do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio $K$ , $L$ , $M$ . Punkt $P$ leży na sferze $s$ i spełnia warunki

$ \frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}. $

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie $ABCP$ jest styczna do sfery $s$ .

LIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 3$ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ zachodzi co najmniej jedna z nierówności

$ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac{n}{2},\ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq\frac{n}{2} $

(przyjmujemy $x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2}$ oraz $x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1}$ ).

LIII OM - III - Zadanie 3

Na tablicy są napisane trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby $k$ , $m$ i zastępujemy je liczbami $k + m$ i $|k - m|$ , a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych, kontynuując to postępowanie, można otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

LIII OM - III - Zadanie 2

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ACPQ$ i $BKLC$ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $PL$ , punkt $C$ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ leżą na jednej prostej.

LIII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ , że liczby $a^2 +1$ i $b^2 +1$ są pierwsze oraz

$ (a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1 . $

LIII OM - II - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},$ $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad x_{1}x_{2}\ldots x_{n}+y_{1}y_{2}\ldots y_{n}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\cdot\ldots\cdot\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}. $

LIII OM - II - Zadanie 5

Trójkąt $ABC$ , w którym $\measuredangle A = 90^\circ$ , jest podstawą ostrosłupa $ABCD$ . Ponadto zachodzą równości

$ AD = BD \ \textrm{oraz}\ AB = CD. $

Udowodnić, że $\measuredangle ACD \geq 30^\circ$ .

LIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $p \leq q \leq r$ , że liczby

$ pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2} $

są pierwsze.

LIII OM - II - Zadanie 3

W $n$ -osobowym stowarzyszeniu działa sześć komisji. W skład każdej z nich wchodzi nie mniej niż $n/4$ osób. Dowieść, że istnieją dwie komisje oraz grupa licząca nie mniej niż $n/30$ osób, należących do obu tych komisji.

Olimpiady Matematyczne