2000-2001

LII OM - III - Zadanie 6

Dane są liczby całkowite dodatnie $n_1 <n_2 < \ldots <n_{2000} < 10^{100}$ . Dowieść, że ze zbioru $\{n_1,n_2,\ldots,n_{2000}\}$ można wybrać niepuste rozłączne podzbiory $A$ i $B$ mające tyle samo elementów, taką samą sumę elementów i taką samą sumę kwadratów elementów.

LII OM - III - Zadanie 5

Punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ , przy czym $BK \cdot AD = DL \cdot AB$ . Odcinki $DK$ i $BL$ przecinają się w punkcie P. Wykazać, że $\measuredangle DAP = \measuredangle BAC$ .

LII OM - III - Zadanie 4

Dane są takie liczby całkowite $a$ i $b$ , że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $n$ liczba $2^na + b$ jest kwadratem liczby całkowitej. Dowieść, że $a = 0$ .

LII OM - III - Zadanie 3

Rozważamy ciąg $(x_n)$ określony rekurencyjnie wzorami

$ x_{1}=a,\ x_{2}=b\ \textrm{oraz}\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\ \textrm{dla}\ n=1,2,3,\ldots, $

gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi.

Liczbę $c$ będziemy nazywać wartością wielokrotną ciągu $(x_n)$ , jeżeli istnieją co najmniej dwie różne liczby całkowite dodatnie $k$ i $l$ takie, że $x_k = x_l = c$ . Wykazać, że można tak dobrać liczby $a$ i $b$ , aby ciąg $(x_n)$ miał więcej niż $2000$ wartości wielokrotnych, ale nie można tak dobrać $a$ i $b$ , aby miał on nieskończenie wiele wartości wielokrotnych.

LII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $1$ od jego wierzchołków jest nie większa niż $3$ .

LII OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ i dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych $x_1,x_2,\ldots,x_n$ zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^{n}ix_{i}\leq{n \choose 2}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{i}. $

LII OM - II - Zadanie 6

Dla danej liczby całkowitej dodatniej $n$ rozstrzygnąć, czy podzbiorów $n$ -elementowych zbioru $\{1,2,3,\ldots,2n-1,2n\}$ mających sumę elementów parzystą jest tyle samo, co podzbiorów $n$ -elementowych mających nieparzystą sumę elementów. Jeśli nie, to rozstrzygnąć, których jest więcej i o ile.

LII OM - II - Zadanie 5

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Prosta $AI$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$ . Dowieść, że $AI + CD = AC$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\measuredangle B = 60^\circ + \frac{1}{3}\measuredangle C$ .

LII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n \geq 3$ , dla których prawdziwe jest następujące zdanie:

W dowolnym $n$ -wyrazowym ciągu arytmetycznym $a_1, a_2,\ldots,a_n$ , dla którego liczba $1 \cdot a_1 + 2\cdot a_2 +... + n \cdot a_n$ jest wymierna, istnieje wyraz będący liczbą wymierną.

LII OM - II - Zadanie 3

Niech $n \geq 3$ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

$ x^{n}+a_{n-3}x^{n-3}+a_{n-4}x^{n-4}+a_{n-5}x^{n-5}+\ldots+a_{1}x+a_{0}, $

gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych $a_0,a_1,\ldots, a_{n-3}$ jest różny od zera, ma mniej niż $n$ pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Olimpiady Matematyczne