1998-1999

L OM - III - Zadanie 6

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ zachodzą równości:

$ \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = 360^\circ ,\qquad \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA}=1. $

Dowieść, że $\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FD}{DE} \cdot \frac{EC}{CA}=1$ .

L OM - III - Zadanie 5

Niech $a_1,a_2, \ldots, a_n$ , $b_1,b_2, \ldots, b_n$ będą liczbami całkowitymi. Udowodnić, że

$ \sum_{1 \leq i < j \leq n}(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|)\leq\sum_{1\leq i,j\leq n}|a_i-b_j|. $

L OM - III - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych $n \geq 2$ układ równań

$ \left\{\begin{array}{c} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\ x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\ x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\ \vdots\\ x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\ x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1} \end{array} \right. $

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ .

L OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieją takie liczby naturalne $n_1 <n_2 < \ldots < n_{50}$ , że

$ n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}) , $

gdzie $S(n)$ jest sumą cyfr liczby $n$ .

L OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby całkowite nieujemne $a_1 <a_2 <a_3 < \ldots < a_{101}$ mniejsze od $5050$ . Dowieść, że spośród nich można wybrać takie cztery różne $a_k$ , $a_l$ , $a_m$ , $a_n$ , że liczba $a_k + a_l -a_m -a_n$ jest podzielna przez $5050$ .

L OM - III - Zadanie 1

Punkt $D$ leży na boku $BC$ trójkata $ABC$ , przy czym $AD > BC$ . Punkt $E$ leży na boku $AC$ i spełnia warunek

$ \frac{AE}{EC}= \frac{BD}{AD - BC}. $

Udowodnić, że $AD > BE$ .

L OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $k \geq 2$ oraz liczby całkowite $a_1, a_2,\ldots, a_n$ spełniające warunki

$ a_1 + 2^i a_2 + 3^i a_3 + \ldots + n^i a_n = 0\ \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, k-1. $

Dowieść, że liczba $a_1 + 2^k a_2 + 3^k a_3 + \ldots + n^k a_n$ jest podzielna przez $k!$ .

L OM - II - Zadanie 5

Niech $S = \{1, 2,3,4, 5\}$ . Wyznaczyć liczbę funkcji $f: S \to S$ spełniających równość $f^{50} (x) = x$ dla wszystkich $x \in S$ .

Uwaga: $f^{50}(x) = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{50} (x)$ .

L OM - II - Zadanie 4

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ i spełnia warunki: $\measuredangle PAB = \measuredangle PCA$ oraz $\measuredangle PAC = \measuredangle PBA$ . Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Dowieść, że jeżeli $O \ne P$ , to kąt $APO$ jest prosty.

L OM - II - Zadanie 3

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Punkty $E$ i $F$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $CD$ , przy czym $AE: EB = CF: FD$ . Punkt $P$ leży na odcinku $EF$ i spełnia warunek $EP: PF = AB: CD$ . Udowodnić, że stosunek pól trójkątów $APD$ i $BPC$ nie zależy od wyboru punktów $E$ i $F$ .