1997-1998

XLIX OM - I - Zadanie 12

Niech $g(k)$ będzie największym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej $k$ , gdy $|k|\geq 2$ , oraz przyjmijmy $g(-1) = g(0) =g(1) = 1$ . Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian $W$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci $g(W(x))$ ( $x$ - całkowite) jest skończony.

XLIX OM - I - Zadanie 11

W turnieju tenisowym uczestniczyło $n$ graczy. Każdy rozegrał z każdym innym jeden mecz; nie było remisów. Udowodnić, że istnieje taki gracz $A$ , który każdego innego gracza $B$ pokonał bezpośrednio lub pośrednio, tzn. gracz $A$ wygrał z $B$ lub gracz $A$ pokonał pewnego zawodnika $C$ , który wygrał z tym graczem $B$ .

XLIX OM - I - Zadanie 10

Środkowe $AD$ , $BE$ , $CF$ trójkąta $ABC$ przecinają się w punkcie $G$ . Na czworokątach $AFGE$ i $BDGF$ można opisać okręgi. Wykazać, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.

XLIX OM - I - Zadanie 9

Niech $a_0 = 0,91$ oraz

$<br /> a_k =0, \underbrace{99\ldots 9}_{2^k}\underbrace{00\ldots 0}_{2^k-1}1 \textrm{ dla } k = 1,2,3,\ldots.<br />$

Obliczyć $\lim_{n\to\infty}(a_0a_1\ldots a_n)$ .

XLIX OM - I - Zadanie 7

Rozstrzygnąć, czy istnieje wielościan wypukły mający $k$ krawędzi oraz płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z jego wierzchołków i przecinająca $r$ krawędzi, przy czym $3r > 2k$ .

XLIX OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby całkowite dodatnie $m$ oraz $n$ . Niech $A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ . Wyznaczyć liczbę funkcji $f:A \to A$ przyjmujących dokładnie $m$ wartości oraz spełniających warunek:

$<br /> \textrm{jeżeli } k,l \in A,\ k \leq l, \textrm{ to } f(f(k)) = f(k) \leq f(l).<br />$

XLIX OM - I - Zadanie 6

W trójkącie $ABC$ , w którym $|AB| > |AC|$ , punkt $D$ jest środkiem boku $BC$ , punkt $E$ leży na boku $AC$ . Punkty $P$ i $Q$ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów $B$ i $E$ na prostą $AD$ . Dowieść, że $|BE| = |AE| + |AC|$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|AD| = |PQ|$ .