1996-1997

XLVIII OM - I - Zadanie 12

Grupa złożona z $n$ osób stwierdziła, że codziennie przez pewien okres czasu trzy z nich mogą wspólnie zjeść obiad w restauracji, przy czym każde dwie z nich spotkają się na dokładnie jednym obiedzie. Dowieść, że liczba $n$ przy dzieleniu przez $6$ daje resztę $1$ lub $3$ .

XLVIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $m\geq 1$ oraz wielomian $P(x)$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $P(x) + 5^m$ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

XLVIII OM - I - Zadanie 10

Punkty $P$ , $Q$ leżą wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ , przy czym $|\measuredangle ACP| = |\measuredangle BCQ|$ oraz $|\measuredangle CAP| = |\measuredangle BAQ|$ . Punkty $D$ , $E$ , $F$ są rzutami prostokątnymi punktu $P$ odpowiednio na boki $BC$ , $CA$ , $AB$ . Dowieść, że kąt $DEF$ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $Q$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $BDF$ .

XLVIII OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \langle 1,\ \infty) \to \langle 1,\ \infty)$ , które spełniają następujące warunki:

[(i)] $f(x+1) = \frac{(f(x))^2-1}{x}$ dla $x \geq 1$ ;
[(ii)] funkcja $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ jest ograniczona.

XLVIII OM - I - Zadanie 8

Niech $a_n$ będzie liczbą wszystkich niepustych podzbiorów zbioru $\{1,2,\ldots,6n\}$ , których suma elementów daje przy dzieleniu przez 6 resztę 5 oraz niech $b_n$ będzie liczbą wszystkich niepustych podzbiorów zbioru $\{1,2,\ldots,7n\}$ , których iloczyn elementów daje przy dzieleniu przez 7 resztę 5. Obliczyć iloraz $a_n/b_n$ .