1994-1995

XLVI OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy niewspółpłaszczyznowe półproste $k$ , $l$ , $m$ o wspólnym początku $P$ oraz punkt $A$ różny od $P$ należący do $k$ . Wykazać, że istnieje dokładnie jedna para punktów $B$ , $C$ , należących odpowiednio do $l$ i $m$ , taka, że

$ |PA| + |AB| = |PC| + |CB| \quad \text{oraz} \quad |PB| + |BC| = |PA| + |AC|. $

XLVI OM - III - Zadanie 5

Niech $n$ i $k$ będą liczbami naturalnymi. Z urny, w której znajduje się 11 kartek ponumerowanych liczbami od 1 do $n$ , losujemy kartki kolejno po jednej, bez zwracania. Gdy pojawi się kartka o numerze podzielnym przez $k$ , przerywamy losowanie. Dla ustalonego $n$ wyznaczyć te liczby $k \leq n$ , dla których wartość oczekiwana liczby wylosowanych kartek jest równa dokładnie $k$ .

XLVI OM - III - Zadanie 4

Dla danej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia

$ x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \ldots + \frac{x_n^n}{n} $

gdzie $x_1, x_2, \ldots , x_n$ są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek

$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} = n. $

XLVI OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba pierwsza $p \geq 3$ . Określamy ciąg $(a_n)$ wzorami

$ \begin{split} a_n = n & \text{ dla } n=0,1,2,\ldots,p-1, \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-p} & \text{ dla } n\geq p. \end{split} $

Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby $a_{p^3}$ przez $p$ .

XLVI OM - III - Zadanie 2

Przekątne pięciokąta wypukłego dzielą ten pięciokąt na pięciokąt i dziesięć trójkątów. Jaka jest maksymalna możliwa do uzyskania liczba trójkątów o równych polach?

XLVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć liczbę podzbiorów zbioru $\{1,2, \ldots , 2n\}$ , w których równanie $x + y = 2n+1$ nie ma rozwiązań.

XLVI OM - II - Zadanie 6

Kwadrat o boku długości $n$ dzielimy na $n^2$ kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których taki kwadrat mozna pociąć wzdłuż linii tego podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.

XLVI OM - II - Zadanie 5

Okręgi wpisane w ściany $ABC$ i $ABD$ czworościanu $ABCD$ są styczne do krawędzi $AB$ w tym samym punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów z krawędziami $AC$ , $BC$ oraz $AD$ , $BD$ leżą na jednym okręgu.

XLVI OM - II - Zadanie 4

Liczby dodatnie $x_l, x_2, \ldots , x_n$ spełniają warunek

$ \sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2 $

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $t$ większej od 1 zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n x_i^t \leq \sum_{i=1}^n x_i^{t+1} $

XLVI OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby niewymierne dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , przy czym $a+b = 1$ . Udowodnić, że $c+d = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość $[na] +[nb] = [nc] + [nd]$ .