1993-1994

XLV OM - III - Zadanie 6

Różne liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots , x_n$ ( $n \geq 4$ ) spełniają warunki

$ \sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1. $

Dowieść, że spośród tych liczb można wybrać takie cztery różne liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , aby zachodziły nierówności

$ a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd. $

XLV OM - III - Zadanie 5

Punkty $A_1, A_2, \ldots , A_8$ są wierzchołkami równoległościanu o środku $O$ . Wykazać, że

$ r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2. $

Dysponujemy trzema naczyniami bez podziałki: pustym $m$ -litrowym, pustym $n$ -litrowym oraz napełnionym wodą $(m+n)$ -litrowym. Liczby $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Udowodnić, że dla każdej liczby $k \in \{1,2, \ldots , m+n-1\}$ można za pomocą przelewania wody otrzymać w trzecim naczyniu dokładnie $k$ litrów wody.

XLV OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba całkowita $c \geq 1$ . Każdemu podzbiorowi $A$ zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ przyporządkowujemy liczbę $w(A)$ ze zbioru $\{1,2, \ldots ,c\}$ tak, by był spełniony następujący warunek:

$ w(A \cap B) = \min(w(A),w(B)) \quad \text{ dla } A, B \subset \{1,2, \ldots , n\}. $

Niech $a(n)$ będzie liczbą takich przyporządkowań. Obliczyć $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a(n)}$ .

Uwaga: $\min(x,y)$ jest nie większą z liczb $x$ , $y$ .

XLV OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są dwie proste równoległe $k$ i $l$ oraz okrąg rozłączny z prostą $k$ . Z punktu $A$ leżącego na prostej $k$ prowadzimy dwie styczne do tego okręgu przecinające prostą $l$ w punktach $B$ , $C$ . Niech $m$ będzie prostą przechodzącą przez punkt $A$ i środek odcinka $BC$ . Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $m$ (odpowiadające różnym wyborom punktu $A$ na prostej $k$ ) mają wspólny punkt.

XLV OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $(x,y,z)$ liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby $x+y+z$ , $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ , $xyz$ są naturalne.

XLV OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza p. Wykazać równoważność zdań:

(a) Istnieje taka liczba całkowita $n$ , że liczba $n^2 - n + 3$ jest podzielna przez $p$ .

(b) Istnieje taka liczba całkowita $m$ , że liczba $m^2 - m +25$ jest podzielna przez $p$ .

XLV OM - II - Zadanie 5

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ jest styczny do boków $AB$ i $BC$ tego trójkąta odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ . Prosta $PQ$ przecina dwusieczną kąta $BAC$ w punkcie $S$ . Udowodnić, że ta dwusieczna jest prostopadła do prostej $SC$ .

XLV OM - II - Zadanie 4

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę $1$ lub $-1$ , a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma $14$ liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

XLV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.

Olimpiady Matematyczne