1992-1993

XLIV OM - III - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy można obliczyć objętość czworościanu znając pola jego czterech ścian oraz promień kuli opisanej (tzn. czy objętość czworościanu jest funkcją pól jego ścian i promienia kuli opisanej).

XLIV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniające następujące warunki:

$ f(-x)=-f(x), \quad f(x+1)=f(x)+1 \quad \text{ dla }x \in \mathbb{R}, $

$ f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{f(x)}{x^2} \quad \text{ dla } x\neq 0. $

XLIV OM - III - Zadanie 4

Dany jest wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami. Wierzchołki tego wielościanu kolorujemy trzema kolorami. Udowodnić, że liczba ścian mających wierzchołki wszystkich trzech kolorów jest parzysta.

XLIV OM - III - Zadanie 3

Oznaczmy przez $g(k)$ największy dzielnik nieparzysty liczby całkowitej dodatniej $k$ oraz przyjmijmy

$ f(k) = \begin{cases} \frac{k}{2} + \frac{k}{g(k)} & \text{ dla } $k$ \text{ parzystego,} \\ 2^{\frac{k+1}{2}} & \text{ dla } $k$ \text{ nieparzystego.} \end{cases} $

Ciąg $(x_n)$ jest określony przez zależności $x_1 = 1$ , $x_{n+1} = f(x_n)$ . Wykazać, że liczba 800 występuje wśród wyrazów tego ciągu dokładnie raz. Wyznaczyć $n$ , dla którego $x_n = 800$ .

XLIV OM - III - Zadanie 2

Punkt $O$ jest środkiem okręgu $k$ wpisanego w trapez nierównoramienny $ABCD$ , którego dłuższa podstawa $AB$ ma środek $M$ . Krótsza podstawa $CD$ jest styczna do okręgu $k$ w punkcie $E$ , prosta $OM$ przecina podstawę $CD$ w punkcie $F$ . Udowodnić, że $|DE| = |FC|$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|AB| = 2\cdot |CD|$ .

XLIV OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach wymiernych $t$ , $w$ , $x$ , $y$ , $z$ układ równań

$ \begin{cases} 2xy &= t^2 - w^2 + z^2 \\ 2xz &= t^2 - y^2 + w^2 \\ 2yz &= t^2 - w^2 + r^2. \\ \end{cases} $

XLIV OM - II - Zadanie 6

Dana jest funkcja ciągła $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniająca warunki:

$ f(1000) =999, \quad f(x)\cdot f(f(x)) = 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbf{R}. $

Obliczyć $f(500)$ .

XLIV OM - II - Zadanie 5

Na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio takie punkty $D$ , $E$ i $F$ , że okręgi wpisane w trójkąty $AEF4$ , $BFD$ i $CDE$ mają promienie równe $r_1$ . Okręgi wpisane w trójkąty $DEF$ i $ABC$ mają odpowiednio promienie $r_2$ i $r$ . Wykazać, że $r_1+r_2=r$ .

XLIV OM - II - Zadanie 4

Niech $(x_n)$ będzie takim ciągiem liczb naturalnych, że:

$ x_1 = 1 \quad \text{ oraz } \quad x_n < x_{n +1} \leq 2n \quad \text{ dla } n=1,2,3,\ldots . $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $k$ istnieją takie liczby $r$ i $s$ , że $x_r - x_s = k$ .

XLIV OM - II - Zadanie 3

Na krawędzi $|OA_1|$ czworościanu $|OA_1B_1C_1|$ wybrano punkty $A_2$ , $A_3$ tak, że $|OA_1| > |OA_2| > |OA_3| > O$ . Niech $B_2$ , $B_3$ będą takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , a $C_2$ , $C_3$ - takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , że płaszczyzny $|A_1B_1C_1|$ , $|A_2B_2C_2|$ , $|A_3B_3C_3|$ są równoległe. Oznaczmy przez $V_i$ ( $i=1,2,3$ ) objętość czworościanu $|OA_iB_iC_i|$ , a przez $V$ objętość czworościanu $|OA_1B_2C_3|$ . Udowodnić, że $V_1 + V_2 + V_3 \geq 3V$ .