1983-1984

XXXV OM - III - Zadanie 6

Miejscowości $P_1,\ldots, P_{1025}$ są obsługiwane przez linie lotnicze $A_1, \ldots, A_{10}$ , przy czym dla każdych miejscowości $P_k$ i $P_m$ ( $k \neq m$ ) istnieje taka linia, której samoloty latają bezpośrednio z $P_k$ do $P_m$ oraz bezpośrednio z $P_m$ do $P_k$ . Udowodnić, że któraś z tych linii może oferować podróż z nieparzystą liczbą lądowań rozpoczynającą i kończącą się w tej samej miejscowości.

XXXV OM - III - Zadanie 5

Sześciokąt foremny o boku 1 zawarty jest w sumie mnogościowej sześciu kół mających średnicę 1. Wykazać, że żaden z wierzchołków sześciokąta nie należy do dwóch z tych kół.

XXXV OM - III - Zadanie 4

Rzucamy $n$ -krotnie monetą i wynik zapisujemy w postaci ciągu $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ , gdzie $a_i = 1$ lub $a_i = 2$ w zależności od tego, czy w $i$ -tym rzucie wypadł orzeł, czy reszka. Przyjmujemy $b_j = a_1 + a_2 + \ldots + a_j$ dla $j = 1, 2,\ldots, n$ , $p(n)$ jest prawdopodobieństwem tego, że w ciągu $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ wystąpi liczba $n$ . Wyznaczyć $p(n)$ w zależności od $p(n-1)$ i $p(n-2)$ .

XXXV OM - III - Zadanie 3

Dany jest ośmiościan foremny $W$ o środku $O$ . W płaszczyźnie $P$ przechodzącej przez punkt $O$ wybrano koła $K(O, r_1)$ i $K (O, r_2)$ o środku $O$ i promieniach $r_1$ i $r_2$ , odpowiednio. Wykazać, że jeżeli

$ K(O, r_1) \subset P\cap W \subset K(O, r_2), $

to

$ \frac{r_1}{r_2} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}. $

XXXV OM - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ oraz każdego $i = 1, 2, \ldots, n$ , $j = 1, 2, \ldots$ określamy

$ a_{j,i} = \begin{cases} 1 &\text{ dla }j=i \\ 0 &\text{ dla }j\neq i \end{cases} $

natomiast dla $i = n + 1,\ldots, 2n$ $j = 1,2,\ldots, n$

$ a_{j,i} = -\frac{1}{n}. $

Udowodnić, że dla każdej permutacji $p$ zbioru $\{1, 2,\ldots, 2n\}$ spełniona jest nierówność

$ \sum_{j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{j, p(k)}\right| \geq \frac{n}{2}. $

XXXV OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć liczbę takich funkcji $f$ odwzorowujących zbiór $n$ -elementowy w ten sam zbiór, że $f^{n-1}$ jest funkcją stałą, zaś $f^{n-2}$ nie jest funkcją stałą, gdzie $f^k = f\circ f \circ \ldots \circ f$ , $n$ jest ustaloną liczbą naturalną większą od 2.

XXXV OM - II - Zadanie 6

Ciąg $(x_n)$ określony jest wzorami

$ x_1=c,\; x_{n+1} = cx_n + \sqrt{(c^2-1)(x_n^2-1)} \quad\text{ dla }\quad n=1,2,\ldots $

Dowieść, że jeśli $c$ jest liczbą naturalną, to wszystkie liczby $x_n$ są naturalne.

XXXV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć kres dolny pól sześciokątów wypukłych, których wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite.

XXXV OM - II - Zadanie 4

W zawodach Olimpiady Matematycznej bierze udział $3n$ uczestników. Mają oni wyznaczone miejsca w trzech rzędach, po $n$ miejsc w każdym i są wpuszczani na salę pojedynczo, po czym natychmiast zajmują swoje miejsca. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że aż do momentu zajęcia miejsca przez ostatniego zawodnika, w każdej chwili dla każdych dwóch rzędów różnica liczb siedzących w nich zawodników jest nie większa od 1.

XXXV OM - II - Zadanie 3

Dane są ciągi $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ , $(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ o wyrazach dodatnich. Udowodnić, że istnieje taka permutacja $p$ zbioru $\{1, 2, \ldots, n\}$ , że dla każdego rzeczywistego $t$ ciąg

$ (x_{p(1)}+ty_{p(1)}, x_{p(2)}+ty_{p(2)}, \ldots, x_{p(n)}+ty_{p(n)}) $

ma następującą własność: istnieje taka liczba $k$ , że $1 \leq k \leq n$ oraz wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach mniejszych od $k$ są jednakowego znaku i wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach nie mniejszych od $k$ są jednakowego znaku.

Olimpiady Matematyczne