1981-1982

XXXIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że w dowolnym czworościanie suma wszystkich kątów dwuściennych jest większa od $2\pi$ .

XXXIII OM - III - Zadanie 5

Liczby całkowite $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n = x_0, x_{n+1} = x_1$ spełniają dla $k = 1, 2, \ldots, n$ nierówność

$ (-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0. $

Dowieść, że różnica

$ \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| $

dzieli się przez 4.

XXXIII OM - III - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów. Dowieść, że zbiór ten można pokryć otwartymi kwadratami rozłącznymi $Q_1, Q_2, \ldots, Q_n$ , tak, że

$ 1\leq \frac{N_j}{S_j} \leq 4 $

( $j = 1, 2,\ldots, n$ ) gdzie $N_j$ jest liczbą punktów zbioru leżących w kwadracie $Q_j$ , zaś $S_j$ jest polem kwadratu $Q_j$ .

XXXIII OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie pary liczb dodatnich $x, y$ spełniające układ równań

$ \begin{split} x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\ x^3 + y^3 &= a^3 + b^3 \end{split} $

gdzie $a, b$ są danymi liczbami dodatnimi.

W czworokącie $ABCD$ wpisanym w koło prosta przechodząca przez środek boku $\overline{AB}$ i punkt przecięcia przekątnych jest prostopadła do boku $\overline{CD}$ . Udowodnić, że boki $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ są równoległe lub przekątne czworokąta są prostopadłe.

XXXIII OM - III - Zadanie 1

Wskazać taki sposób rozmieszczenia przy okrągłym stole $n$ dziewcząt i $n$ chłopców, aby liczba $d_n - c_n$ była największa, gdzie $d_n$ jest liczbą dziewcząt, siedzących między dwoma chłopcami, zaś $c_n$ - liczbą chłopców siedzących, między dwiema dziewczętami.

XXXIII OM - II - Zadanie 6

Dany jest takt skończony zbiór $B$ punktów przestrzeni, że każde dwie odległości między punktami tego zbioru są różne. Każdy punkt zbioru $B$ łączymy odcinkiem z najbliższym mu punktem zbioru $B$ . Otrzymamy w ten sposób zbiór odcinków, z których jeden (dowolnie wybrany) malujemy na czerwono, wszystkie pozostałe odcinki malujemy na zielono. Dowieść, że istnieją takie dwa punkty zbioru $B$ , których nie można połączyć łamaną złożoną z odcinków pomalowanych na zielono.

XXXIII OM - II - Zadanie 5

Niech $q$ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba

$ q^{(q+1)^n}+1 $

dzieli się przez $(q + 1)^{n+1}$ ale nie dzieli się przez $(q + 1)^{n+2}$ .

XXXIII OM - II - Zadanie 4

Niech $A$ będzie skończonym zbiorem punktów przestrzeni mającym tą własność, że dla dowolnych jego punktów $P, Q$ istnieje izometria przestrzeni przeprowadzająca zbiór $A$ na zbiór $A$ oraz punkt $P$ na punkt $Q$ . Udowodnić że istnieje sfera przechodząca przez wszystkie punkty zbioru $A$ .