1978-1979

XXX OM - III - Zadanie 6

Wielomian $w$ stopnia $n$ ( $n>1$ ) ma $n$ różnych pierwiastków Wnczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ . Udowodnić, że

$ \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0. $

XXX OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

XXX OM - III - Zadanie 4

Dane są liczby rzeczywiste $A > 1$ i $B > 1$ oraz ciąg $(x_n)$ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $(y_n)$ liczb z przedziału $[1, A]$ , że

$ \frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots . $

Doświadczenie polega na wykonaniu $n$ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $i$ -tej próbie wynosi $p_i$ . Niech $r_k$ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $k$ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k. $

XXX OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

XXX OM - III - Zadanie 1

Dany jest zbiór $\{r_1, r_2, \ldots, r_k\}$ liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez liczbę naturalną $m$ dają różne reszty. Udowodnić, że jeżeli $k > \frac{m}{2}$ , to dla każdej liczby całkowitej $n$ istnieją takie $i$ oraz $j$ ( $n$ niekoniecznie różne), że liczba $r_i + r_j - n$ jest podzielna przez $m$ .

XXX OM - II - Zadanie 6

Na boku $\overline{DC}$ prostokąta $ABCD$ , w którym $\frac{AB}{AD} = \sqrt{2}$ zbudowano zewnętrznie półokrąg. Dowolny punkt $M$ półokręgu połączono odcinkami z $A$ i $B$ otrzymując na $\oveline{DC}$ odpowiednio punkty $K$ i $L$ . Dowieść, że $DL^2 + KC^2 = AB^2$ .

XXX OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że wśród każdych dziesięciu kolejnych liczb naturalnych istnieje taka, która jest względnie pierwsza z każdą z pozostałych dziewięciu.

XXX OM - II - Zadanie 4

Niech $S_k$ będzie symetrią płaszczyzny względem prostej $k$ . Udowodnić, że dla każdych prostych $a, b, c$ zawartych w jednej płaszczyźnie zachodzi równość

$ S_aS_bS_cS_aS_bS_cS_bS_cS_aS_bS_cS_a = S_bS_cS_aS_bS_cS_aS_aS_bS_cS_aS_bS_c $

XXX OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni dana jest prosta $k$ oraz sześcian o wierzchołku $M$ i krawędziach $\overline{MA}$ , $\overline{MB}$ , $\overline{MC}$ , długości 1. Udowodnić, że długość rzutu prostokątnego krawędzi $MA$ na prostą $k$ jest równa polu rzutu prostokątnego kwadratu o bokach $MB$ i $MC$ na płaszczyznę prostopadłą do prostej $k$ .